回復 40# Ellipse 的帖子
小弟要感謝各位老師的指導，常來這裡偷學幾招，以後可以教小女回復 40# Ellipse 的帖子
[b]計算 6(1)[/b]硬是寫一個[b][color=Red]爛證明[/color][/b]，畫圖觀察，先想像 \( \angle DGC = 120^\circ \)，如果要用相似三角形證明此，會是哪個三角形與其相似呢？找到之後，再來湊相似條件
[attach]2325[/attach]
不妨假設 \( \overline{DE}=1, \overline{EC}=r \), 則 \( \overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DA}=1+r \)。
由三角形 \( \triangle ADE\sim\triangle FCE \)，可得 \( \overline{CF}=(1+r)r \)
\( \triangle FDC \) 中，由餘弦定理可得 \( \overline{DF}=\sqrt{(1+r)^{2}+(1+r)^{2}r^{2}+r(1+r)^{2}}=(1+r)\sqrt{1+r+r^{2}} \)。
\( \triangle FDC \) 被直線 \( \overrightarrow{BE} \) 所截，由孟氏定理有 \( \displaystyle \frac{\overline{FG}} {\overline{GD}}\cdot\frac{\overline{DE}}{\overline{EC}}\cdot\frac{\overline{CB}}{\overline{BF}}=1
\Rightarrow\frac{\overline{FG}}{\overline{GD}}=r(r+1)\Rightarrow\overline{DG}=\frac{1}{r^{2}+r+1}\overline{DF}=\frac{1+r}{\sqrt{r^{2}+r+1}} \)
\( \displaystyle \frac{\overline{DG}}{\overline{DC}}=\frac{1}{\sqrt{r^{2}+r+1}}, \frac{\overline{DC}}{\overline{DF}}=\frac{1}{\sqrt{1+r+r^{2}}} \)，又 \( \triangle CDG \) 和 \( \triangle FDC \) 共用 \( \angle D \)，故兩三角形相似(SAS)
因此 \( \angle DGC=\angle DCF=120^{\circ} \)，故 \( \angle DGC \) 與 \( \angle DBC \) 互補，因此四點共圓。
要是真的這樣做的話，考試根本做不出來吧。至於有沒有好方法，就請其它高手出手吧！
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-4 12:00 AM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-6-3 10:12 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10918&ptid=1902][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
小弟連進去抄題目的機會都沒有......:(
話說計算最後一題
如果能證出 B、C、G、D 四點共圓的話，那 BCGD 的面積 = 以 BG 為邊的正三角形面積
不過不簡單啊 ......
補個圖 ... [/quote]
帥喔~
昨晚小弟跟寸斯討論到這題
他想的方法也跟鋼琴兄一樣
用旋轉的方式
可見"英雄所見略同"
這樣題目只要再說明G,C,G'三點共線就好了~
回復 43# Ellipse 的帖子
計算6(2)，補一下過程，由 (1) 得 BDGC 四點共圓，得 \( \angle BDG + \angle GCB = 180^\circ \)，故鋼琴兄 #39 的圖中將 \( \triangle BDG \) 以 \( B \) 為中心，逆時針旋轉 \( 60^\circ \) 得 \( \triangle BD'G' \)，其中 \( D' \) 和 \( C \) 重合。由 \( \angle BDG + \angle GCB = 180^\circ \) 得 \( \angle BD'G' + \angle GCB = 180^\circ \)，故 \( GCG' \) 三點共線
四邊形 BDGC 面積 = 三角形 BDG 面積 + 三角形 BGC 面積
= 三角形 BD'G' 面積 + 三角形 BGC 面積
= 三角形 BGG' 面積 (邊長為 \( a \) 的正三角形)
回復 44# tsusy 的帖子
請問各位老師，考試時，第(1)小題沒證出來，直接用第(1)小題的結論做出第(2)小題，且答案正確，這樣的話，第(2)小題這5分拿得到嗎？話說，這張總分是 120 分，只要 33 分就能進複試，不好玩...
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-4 08:09 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-6-4 08:06 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10939&ptid=1902][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問各位老師，考試時，第(1)小題沒證出來，直接用第(1)小題的結論做出第(2)小題，且答案正確，這樣的話，第(2)小題這5分拿得到嗎？
話說，這張總分是 120 分，只要 33 分就能進複試，不好玩... ... [/quote]
如果是考指考,只有後面對, 也會給5分
但考教甄就不確定了
看他們的心情~ [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2014-6-4 08:15 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10940&ptid=1902][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
如果是考指考,只有後面對, 也會給5分[/quote]
那如果是高中生的校內考試呢？
另外，小弟很好奇，這裡有沒有老師改過教甄的考卷？有沒有遇到好玩的事可分享？
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-4 08:25 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-6-4 08:22 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10941&ptid=1902][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
那如果是高中生的校內考試呢？
另外，小弟很好奇，這裡有沒有老師改過教甄的考卷？有沒有遇到好玩的事可分享？ [/quote]
校內考試應該會給吧?
看看版上這次有沒有哪位老師被派去改全國的考卷~
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-4 08:39 PM 編輯 [/i]] 想請問
填充第三&第四怎解
第四用臨界點的方法好硬 填充第3題
\(\begin{align}
& x+y=5x+3y=1 \\
& 2x-3y=-5x-4y=-6 \\
& \\
& \left[ \begin{matrix}
1 & 1 \\
2 & -3 \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
5 & 3 \\
-5 & -4 \\
\end{matrix} \right]A \\
& A={{\left[ \begin{matrix}
5 & 3 \\
-5 & -4 \\
\end{matrix} \right]}^{\ -1}}\left[ \begin{matrix}
1 & 1 \\
2 & -3 \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \\
-1 & -1 \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
1 & 1 \\
2 & -3 \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
2 & -1 \\
-3 & 2 \\
\end{matrix} \right] \\
\end{align}\)
填充第4題
不知出題教授有沒有自己用手算一遍？有的話，要算多久？
回復 50# thepiano 的帖子
填充4：同意鋼琴師的說法~~小弟在考場做這題大概做到一半就會想跳過(時間壓力+數字太醜)
這題我知道的傳統做法是考慮
\(\left\{ \begin{align}
& y={{x}^{3}}-8{{x}^{2}} \\
& y=kx+6 \\
\end{align} \right.\) 圖形有三個相異交點時求k的範圍
所以要考慮 \(y={{x}^{3}}-8{{x}^{2}}\) 過點 \(\left( 0,6 \right)\) 的切線
令切點為 \(\left( t,{{t}^{3}}-8{{t}^{2}} \right)\), 則求解 \(3{{t}^{2}}-16t=\frac{{{t}^{3}}-8{{t}^{2}}-6}{t}\Rightarrow t=1,\frac{3\pm \sqrt{21}}{2}\)
考慮對應三個切點的相對位置 \(\frac{3-\sqrt{21}}{2}<1<\frac{3+\sqrt{21}}{2}\) 且
\(f'\left( \frac{3-\sqrt{21}}{2} \right)=\frac{-3+7\sqrt{21}}{2},f'\left( 1 \right)=-13,f'\left( \frac{3+\sqrt{21}}{2} \right)=\frac{-3-7\sqrt{21}}{2}\)
由圖形可看出斜率k的所求範圍為\(\left\{ \left. k \right|k>\frac{-3+7\sqrt{21}}{2}or\frac{-3-7\sqrt{21}}{2}<k<-13 \right\}\)
有其他更好算的方法等高手們待補
(話說剛才看到瓜農兄提到的臨界點法應該就是這方法，沒幫到啥忙有點不好意思XD)
PS. 最後一題幾何題真的是非常難，能想到寸絲兄的方式證真的是非人也!!
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-5 09:37 AM 編輯 [/i]]
回復 50# thepiano 的帖子
請教鋼琴師x+y=5x+3y=1 看不懂如何變換
還有要把對應直線常數項變相同的原因是？
先說說我自己的想法好了 也不曉得錯在哪
考慮矩陣A將L1,L2之方向向量＜1，-1＞‘，＜3，2>‘帶往L1',L2'的法向量＜3，2＞′ ，＜4，-5＞ ′解A得【2，-1；-1/5，-11/5】 ；表下一列
請賜教了 謝謝
另外謝謝hua大 ，有幫到我大忙，我是被k給困住，我本來直接微分以k表示臨界點，再考慮兩臨界點函數值一正一負去解的。
[[i] 本帖最後由 瓜農自足 於 2014-6-5 11:54 AM 編輯 [/i]]
回復 52# 瓜農自足 的帖子
\(\begin{align}& x+y=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left[ \begin{matrix}
1 & 1 \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
x \\
y \\
\end{matrix} \right]=1 \\
& 5x+3y=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left[ \begin{matrix}
5 & 3 \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
x \\
y \\
\end{matrix} \right]=1 \\
\end{align}\)
由於二階方陣A將\(x+y=1\)變換為\(5x+3y=1\)
故
\(\begin{align}
& \left[ \begin{matrix}
1 & 1 \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
x \\
y \\
\end{matrix} \right]\text{=}\left[ \begin{matrix}
5 & 3 \\
\end{matrix} \right]A\left[ \begin{matrix}
x \\
y \\
\end{matrix} \right] \\
& \left[ \begin{matrix}
1 & 1 \\
\end{matrix} \right]\text{=}\left[ \begin{matrix}
5 & 3 \\
\end{matrix} \right]A \\
\end{align}\)
同理
\(\left[ \begin{matrix}
2 & -3 \\
\end{matrix} \right]\text{=}\left[ \begin{matrix}
-5 & -4 \\
\end{matrix} \right]A\)
合併寫成
\(\left[ \begin{matrix}
1 & 1 \\
2 & -3 \\
\end{matrix} \right]\text{=}\left[ \begin{matrix}
5 & 3 \\
-5 & -4 \\
\end{matrix} \right]A\)
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-5 12:51 PM 編輯 [/i]]
回復 52# 瓜農自足 的帖子
瓜農兄 你的L1'的方向向量應為 ( 3，-5) 這樣代入 A 可解出本題正解，不過這樣解好像會有些危險XD，因為矩陣變換的確能把方向向量映到方向向量，
但是不一定剛好是直線方程式上看到的"係數"，中間可能會差一個常數倍，
舉例來說，矩陣\(A=\left( \begin{matrix}
3 & -1 \\
1 & -2 \\
\end{matrix} \right)\) 將直線 \(2x+y=1\) 映至 直線 \(x-y=1\) 但是方向向量
\(A\left( \begin{matrix}
1 \\
-2 \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
5 \\
5 \\
\end{matrix} \right)=5\left( \begin{matrix}
1 \\
1 \\
\end{matrix} \right)\ne \left( \begin{align}
& 1 \\
& 1 \\
\end{align} \right)\)
但本題的情況剛好常數倍是1 :)
回復 54# hua0127 的帖子
謝謝原來#34才是正確版考題
我載到另一份系數有點差異
所以說兩條線各找兩點對應過去有四條件解出A是最保險的方法囉
回復 55# 瓜農自足 的帖子
兩條線各找兩點對應過去有四條件解出A在計算方面可能不是最保險XD最有效率的做法還是鋼琴老師在前面的作法，應該也是得分上最保險的作法 同意55# hua 大的想法!
分享一下 讓我想很久的第二題給大家
我被上下左右搞得頭暈眼花的
這題我想還是別用圓盤法
但考慮比較好手算的殼層法要小心判斷兩函數圖型繞x軸轉一圈時，
判斷包園區域中哪個函數離x軸較高，如此分段積分得分三段
如附件(不會貼圖@@)
參考以下縮網址
[url]http://ppt.cc/WOMS[/url]
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-5 11:05 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]hua0127[/i] 於 2014-6-5 09:16 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10951&ptid=1902][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充4：
同意鋼琴師的說法~~小弟在考場做這題大概做到一半就會想跳過(時間壓力+數字太醜)
[/quote]
這題大概就像hua0127兄的做法~
y=x^3-8x^2-6 ,y=kx
只能細心一點,畫圖+計算不要錯誤,才能拿到分數~
若遇到這種題目,小弟會放在最後再做~ 我發現我第七題做不出來@@
題為
若 0<=x<2pi
已知 3sinx-4kcosx+(3+8k)=0
x有兩相異實根, 求k 範圍
請賜教...
回復 59# 瓜農自足 的帖子
\(\sin x=\frac{2t}{1+{{t}^{2}}},\cos x==\frac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}\)代入後，整理成 t 的二次方程，再用判別式