103台中二中
已公布試題，請各位老師享用[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-25 08:15 AM 編輯 [/i]] 4.
設有一奇數n以及角度\( \theta \)，使得聯立方程式\( \displaystyle \cases{3^n y+(sin 2\theta)^n z=0 \cr (1+sec \theta)^n x+z=0 \cr -x+(1+csc \theta)^n y=0} \)的解\( (x,y,z) \)不只一組，則\( sin\theta+cos \theta \)為[u] [/u]。
(98筆試一，臺灣師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題，[url]http://www.math.ntnu.edu.tw/down/archive.php?class=105[/url])
5.
設\( 0 \le x \le 2 \pi \),\( 0 \le y \le 2 \pi \)，則方程式\( \displaystyle cos4x+2sin^2 \frac{y}{2}=1 \)之圖形所圍成的區域面積為[u] [/u]。
(92筆試二，臺灣師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題，[url]http://www.math.ntnu.edu.tw/down/archive.php?class=105[/url])
9.
4乘4的數獨是用1,2,3,4填入4乘4的方格中。每一行及每一列都須包含1~4，不能缺少也不能重複，粗線圍起來的區域(正方形的4格)也是填入1~4，不能缺少也不能重複。今將1~4填入這16格且要符合上述規則，則共有[u] [/u]種不同的方法。
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1190&page=2#pid4897[/url]
10.
木匠師父把一個邊長2公分的正方體，雕琢成一個實心的物體，由上方俯視為邊長2公分的正方形，前視圖及右視圖皆是半徑1公分的圓，則此物體的最大體積為[u] (10) [/u]立方公分。
牟合方蓋
求計算\( x^2+y^2\le 1 \)，\( y^2+z^2\le 1 \)之共同部分體積
(98彰化女中，[url]https://math.pro/db/thread-741-1-1.html[/url])
[img]http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=1925[/img]
[url=http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=1926]GGB檔下載[/url]
計算4.
甲袋裝有1個黑球和\( (k-1) \)個白球，而乙袋裝有k個白球(\( k \ge 2 \))。今從甲袋與乙袋同時取出一球放入對方袋中，這動作稱為換球一次。對每個正整數n，令\( P_n \)表示換球n次後，黑球仍在甲袋的機率。
試求：(1)\( P_n \) (2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n \)
(96筆試一，臺灣師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題，[url]http://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=14[/url])
(103桃園高中，[url]https://math.pro/db/thread-1881-1-1.html[/url])
[url=https://math.pro/db/attachment.php?aid=2203&k=6127c1010bf8e993b957a54eaee833a0&t=1400936070]解答下載[/url]
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-24 09:00 PM 編輯 [/i]] 填3: (98南一中類似考題)
下面度省略
如附件圖,假設O(0,0)
A1:z1=(1/2)(cos60+i*sin60) ,a1=OA1=1/2
A2:z2=(z1)(1/2)(cos60+i*sin60) ,a2=OA2=1/4
A3:z3=(z2)(1/2)(cos60+i*sin60) ,a3=OA3=1/8
.......
(A1A2)²=(1/2)²+(1/4)²-2(1/2)(1/4)cos60
A1A2=√3 /4
易知所求為首項=√3 /4,公比=1/2 的無窮等比級數和
=(√3 /4) / (1-1/2)
=√3 / 2
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-24 09:04 PM 編輯 [/i]] 填充8:
如附件.gif
[(x-3)²+(y-2)²]^0.5 +(y+4) =10
整理得(x-3)²= -8(y-4)
-5<x<11
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-24 04:03 PM 編輯 [/i]] 請問填充2和5，感恩！ 第5題
\(\begin{align}
& \cos \left( 4x \right)=1-2{{\sin }^{2}}\left( \frac{y}{2} \right) \\
& \cos \left( 4x \right)=\cos \left( y \right) \\
\end{align}\)
......
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-24 09:41 PM 編輯 [/i]] 因為也是算到這卡住，能否請鋼琴老師再詳細說明一下，謝謝。 [quote]原帖由 [i]loveray[/i] 於 2014-5-24 09:58 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10662&ptid=1901][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
因為也是算到這卡住，能否請鋼琴老師再詳細說明一下，謝謝。 [/quote]
幫忙回答,如附件
cos(4x)=cosy
case(i) :
4x=y+2kπ (k= -1,0,1,2,3,4)
case(ii):
4x= -y+2kπ (k=0,1,2,3,4,5)
易知所求紅色面積占正方形ABCD的3/8
所求=(2π)*(2π)*3/8=3π²/2
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-24 10:57 PM 編輯 [/i]] 請問填充2和7，感恩！
回復 5# loveray 的帖子
填充第2題：只能提供庶民法：
因這題統計的範圍涵蓋全班，故以下我所用的估計全以母體為基準
假設全班有n人，每個人的選擇題為x分，計算題為y分，則根據題意，
\(\frac{\sum{{{x}_{i}}}}{n}=52,\frac{\sum{{{y}_{i}}}}{n}=18,\sqrt{\frac{1}{n}\sum{{{x}_{i}}^{2}}-{{52}^{2}}}=8,\sqrt{\frac{1}{n}\sum{{{y}_{i}}^{2}}-{{18}^{2}}}=15\), 可推知
\(\frac{\sum{{{x}_{i}}^{2}}}{n}={{8}^{2}}+{{52}^{2}},\frac{\sum{{{y}_{i}}^{2}}}{n}={{15}^{2}}+{{18}^{2}}\) 及每個人的數學平均 \(\frac{\sum{\left( {{x}_{i}}+{{y}_{i}} \right)}}{n}=70\)
又由相關係數已知 \(0.6=\frac{\frac{1}{n}\sum{\left( {{x}_{i}}-52 \right)\left( {{y}_{i}}-18 \right)}}{8\cdot 15}\Rightarrow \frac{\sum{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}}{n}=18\cdot 56\)
故所求為\[\sqrt{\frac{1}{n}\sum{{{\left( {{x}_{i}}+{{y}_{i}} \right)}^{2}}}-{{70}^{2}}}=\sqrt{\frac{\sum{{{x}_{i}}^{2}}}{n}+\frac{\sum{{{y}_{i}}^{2}}}{n}+\frac{2\sum{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}}{n}-{{70}^{2}}}=\sqrt{433}\]
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-25 09:34 PM 編輯 [/i]]
回復 9# 阿光 的帖子
填充第7題：考慮黎曼和，原式為
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\left( \frac{1}{n}\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\frac{2}{n}\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\ldots +\frac{n}{n}\sqrt{1+\frac{n}{n}} \right)=\int_{0}^{1}{\left( x\sqrt{1+x} \right)dx}=\int_{0}^{1}{\left( {{\left( 1+x \right)}^{\frac{3}{2}}}-{{\left( 1+x \right)}^{\frac{1}{2}}} \right)dx}=\frac{4\left( \sqrt{2}+1 \right)}{15}\)
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-25 09:49 PM 編輯 [/i]]
回復 10# hua0127 的帖子
填2. 另解選擇題 (Y) 對計算題 (X) 的迴歸直線方程為 \( y=\frac{8}{25}x+\frac{1156}{25} \)
而分數的關係式為 \( y_{i}=\frac{8}{25}x_{i}+\frac{1156}{25}+e_{i} \)，其中 [color=Red]\( Cov(X,E)=0 \), \( Var(E)=(1-0.6^{2})Var(Y) \)[/color]。
([color=Red]紅字是重點[/color]，利用 \( Cov(Z+W)=Cov(Z,Z)+2Cov(Z,W)+Cov(W,W),Cov(Z,Z)=Var(Z), Cov(W,Z) = r_{z,w} \sigma_z\sigma_w \) 可證明之)
總分 \(X+Y: x_{i}+y_{i}=\frac{33}{25}x_{i}+\frac{1156}{25}+e_{i} \)
\( Var(X+Y)=(\frac{33}{25})^{2}\cdot225+(1-\frac{9}{25})\cdot8^{2}=433 \)，故標準差為 \( \sqrt{433} \)。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-25 10:26 PM 編輯 [/i]]
回復 12# tsusy 的帖子
寸絲兄還是一如以往的殺~~你早一些些我也不用打那麼長了XD回復 13# hua0127 的帖子
你的方法有你的方法的好處，親民易懂；我這樣寫，說不定有人覺得很詭異，跟天書一樣我剛好記得那奇怪的式子，一般高一的課本或教師手冊很少把迴歸直線、相關係數談的這麼細
之前做教甄某題的時候，曾經重推一下這件事。
令我訝異的是，康熹版的高一課本，竟然那一段，用誤差來解釋相關係數：誤差的變異數，只有原變異數的 \( (1-r^2) \) 倍。
不過後來康熹好像又對課本做來修改，那段不知道還在不在？
紅字的另一個解釋，是線性代數正射影、正交分解的觀點，把 \( Cov(X,Y) \) 或 \( r \) 當作在處理內積、正射影係數，
正交分解完後，\( X \perp E \), \( E \) 的長度可用畢氏定理計算，翻譯回 Var, Cov 的語言，就是 \( Cov(X,E) = 0, Var(E) = (1-r^2) Var(Y) \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-25 10:53 PM 編輯 [/i]] 無聊做一下，填充 1.
可分成(依序紅黃藍綠)奇奇奇奇、奇奇偶偶，轉換成方程式的非負整數解
\( (2x+1) + (2y+1) + (2z+2) + (2w+2) = 30 \) 或 \( (2x+1) + (2y+1) + (2z+1) + (2w+1) = 30 \)
\( \Rightarrow x+y+z+w = 12 or 13 \)
故所求 = \( H^4_{12} + H^4_{13} = 1015 \) [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2014-5-26 09:59 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10688&ptid=1901][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
無聊做一下，填充 1.
可分成(依序紅黃藍綠)奇奇奇奇、奇奇偶偶，轉換成方程式的非負整數解
\( (2x+1) + (2y+1) + (2z+2) + (2w+2) = 30 \) 或 \( (2x+1) + (2y+1) + (2z+1) + (2w+1) = 30 \)[/quote]
帥喲!這個方法快多了
不過這麼快就算出來，您很快就會又無聊了:P 計算 5
請問各位大大，過程方面是對的嗎？
不好意思我不熟語法所以用寫的...
感謝thepiano老師 hua0127老師
我修正了算式，大家參考一下^ ^
[[i] 本帖最後由 小蝦米 於 2014-5-27 12:24 AM 編輯 [/i]]
回復 14# tsusy 的帖子
昨天晚上看到這必殺後就一直在玩味這個神奇的結果跟寸絲兄所說的依樣，可以用線代的觀點去詮釋
有興趣的可以參考以前我很喜歡的一個線代的網站：線代啟示錄
[url]http://goo.gl/JwYZrf[/url] ：從線性變換解釋最小平方近似
[url]http://goo.gl/VaqcpS[/url] ：相關係數
[url]http://goo.gl/4wwPCw[/url] ：樣本平均數、變異數和共變異數
裡面有提到寸絲兄所說的一些重要觀念
BTW，利用寸絲兄提示的公式推導的過程中
\(Cov\left( X+Y,X+Y \right)=Cov\left( X,X \right)+2Cov\left( X,Y \right)+Cov\left( Y,Y \right)\)得到了
\(Var\left( X+Y \right)=Var\left( X \right)+Var\left( Y \right)+2Cov\left( X,Y \right)\), 是以前統計常用的公式(慚愧，忘得差不多了囧…) 將這個公式套入本題也有一些妙用，所求
\[Var\left( X+Y \right)=Var\left( X \right)+Var\left( Y \right)+2\cdot {{r}_{xy}}\cdot {{\sigma }_{x}}\cdot {{\sigma }_{y}}={{8}^{2}}+{{15}^{2}}+2\cdot \left( 0.6 \right)\cdot 8\cdot 15=433\]
答案即為\(\sqrt{433}\), 其實也是借花獻佛，換湯不換藥而已XD [quote]原帖由 [i]小蝦米[/i] 於 2014-5-26 03:57 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10701&ptid=1901][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算 5
請問各位大大，過程方面是對的嗎？
不好意思我不熟語法所以用寫的... [/quote]
應該還有 x = 100，p = 1，q = -1，此時 2p^2 - q^2 = 1
回復 18# hua0127 的帖子
hua0127 的這個方法寫得更清楚、簡潔，雖然本質差不多但是我的寫法，還繞一點不必要的路 \( Var(E) \)，考試的時候記得要這樣做 :D