回復 19# thepiano 的帖子
非常謝謝鋼琴老師！平方那邊沒考慮得很周全 請問計算第3題的做法為何?
回復 22# esthlover 的帖子
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3328[/url]美夢成甄網站，鋼琴老師已經解答了。
回復 3# Ellipse 的帖子
橢圓兄真的很貼心，有時覺得圖片一貼出來算式似乎也可以不用打了(Calculate without word?)XD小弟比較偷懶，用代數去做：
先觀察\(z=\frac{1}{2}\left( \cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3} \right)\Rightarrow \left| {{z}^{k}} \right|={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{k}}\) 且\(\left| z-1 \right|=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
原式 \(\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\left| {{z}^{k+1}}-{{z}^{k}} \right|}=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\left| {{z}^{k}} \right|\left| z-1 \right|}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{k}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) 能不能請問填充第四題, 謝謝. 請參考
回復 26# thepiano 的帖子
這....也太神妙了吧! 謝謝!回復 27# David 的帖子
利用\(\Delta =\det \left( \begin{matrix}0 & {{3}^{n}} & {{\left( \sin 2\theta \right)}^{n}} \\
{{\left( 1+\sec \theta \right)}^{n}} & 0 & 1 \\
-1 & {{\left( 1+\csc \theta \right)}^{n}} & 0 \\
\end{matrix} \right)=0\)
也可以得到鋼琴老師那神奇的式子
\({{\left( 1+\sec \theta \right)}^{n}}{{\left( 1+\csc \theta \right)}^{n}}=\frac{{{3}^{n}}}{{{\left( \sin 2\theta \right)}^{n}}}\)
回復 28# hua0127 的帖子
想再請問計算2, 謝謝幫忙! 計算第2題設
\(\begin{align}
& {{z}_{1}}=\cos \alpha +i\sin \alpha \\
& {{z}_{2}}=\cos \beta +i\sin \beta \\
& {{z}_{3}}=\cos \gamma +i\sin \gamma \\
\end{align}\)
\(\begin{align}
& \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =0 \\
& \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =0 \\
& {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0 \\
& \overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{3}}}=0 \\
& {{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}}={{z}_{2}}\overline{{{z}_{2}}}={{z}_{3}}\overline{{{z}_{3}}}=1 \\
& \\
& {{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}+{{z}_{3}}^{2} \\
& ={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right)}^{2}}-2\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}} \right) \\
& =-2{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}\left( \overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{3}}} \right) \\
& =0 \\
& \\
& \cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma =0 \\
& \sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =0 \\
\end{align}\)
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-27 09:59 PM 編輯 [/i]]
回復 29# David 的帖子
計算 21. 先證 \( \cos(\alpha-\beta)=-\frac{1}{2} \)
\( (\cos\alpha+\cos\beta)^{2}+(\sin\alpha+\sin\beta)^{2}=\cos^{2}\gamma+\sin^{2}\gamma \)
\( \Rightarrow2+2\cos(\alpha-\beta)=1\Rightarrow\cos(\alpha-\beta)=\frac{-1}{2} \)
2. 再證 \( \cos(\alpha+\beta)=-(\cos2\alpha+\cos2\beta) \)
\( \cos2\beta+\cos2\gamma=2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=-\cos(\alpha+\beta) \) by 1
3. 證明 \( \cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma=0 \)
\( (\cos\alpha+\cos\beta)^{2}-(\sin\alpha+\sin\beta)^{2}=\cos^{2}\gamma-\sin^{2}\gamma \)
\( \Rightarrow\cos2\alpha+\cos2\beta+2\cos(\alpha+\beta)=\cos2\gamma \)
\( \cos2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma=0 \) by 2
4. 先證 \( \sin(\alpha+\beta)=-(\sin2\alpha+\sin2\beta) \)
\( \sin2\alpha+\sin2\beta=2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) \)
\( \Rightarrow\sin2\alpha+\sin2\beta=-\sin(\alpha+\beta) \) by 1
5. 證明 \( \sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma =0 \)
\( \sin\gamma\cos\gamma=(\sin\alpha+\sin\beta)(\cos\alpha+\cos\beta) \) ，和差化積得
\( \Rightarrow\frac{1}{2}\sin2\gamma=2^{2}\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \)
\( \Rightarrow\frac{1}{2}\sin2\gamma=\sin(\alpha+\beta)\cdot(1+\cos(\alpha-\beta)) \)
\( \Rightarrow\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma \) by 1,4.
另證. 向量 \( (\cos\alpha, \sin\alpha), (\cos \beta, \sin \beta), (\cos \gamma. \sin \gamma) \) 頭尾相連形成一個三角形，故兩兩夾 \( 120^\circ \)。
不失一般性，可假設 \( \beta = \alpha + 120^\circ \), \( \gamma = \alpha - 120^\circ \)，代入，和角公式，即得證。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-27 10:17 PM 編輯 [/i]]
回復 29# David 的帖子
令\({{z}_{1}}=\cos \alpha +i\sin \alpha ,{{z}_{2}}=\cos \beta +i\sin \beta ,{{z}_{3}}=\cos \gamma +i\sin \gamma \)則\({{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}=0\), \(\overline{{{z}_{1}}}+\overline{{{z}_{2}}}+\overline{{{z}_{3}}}=\frac{1}{{{z}_{1}}}+\frac{1}{{{z}_{2}}}+\frac{1}{{{z}_{3}}}=0\Rightarrow \frac{{{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}}}{{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{z}_{3}}}=0\Rightarrow {{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}}=0\)
故\({{z}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}^{2}+{{z}_{3}}^{2}={{\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}} \right)}^{2}}-2\left( {{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}} \right)=0\), 可推知
\(\cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma =\sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =0\)
其實就是鋼琴大的方法，只是移項的方式不同XD
回復 31# tsusy 的帖子
謝謝各位大師的講解. 推導的這麼精采, 小弟真是即高興又想哭(終於深深體會什麼叫哭笑不得)....唉! [quote]原帖由 [i]David[/i] 於 2014-5-27 10:06 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10757&ptid=1901][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]謝謝各位大師的講解. 推導的這麼精采, 小弟真是即高興又想哭(終於深深體會什麼叫哭笑不得)....唉! [/quote]
印象中這題在仿間高中數學參考書內會有~
回復 31# tsusy 的帖子
跟寸絲的作法很類似不過我是跟鋼琴大一樣
先令Z_1,Z_2,Z_3然後此三點為單位圓上三點
做到cos(alpha-beta)=-1/2
同理cos(beta-gamma)=-1/2
cos(gamma-alpha)=-1/2
不失一般性beta=alpha+120度,gamma=alpha+240度
就可以證出來了。 想請問計算題一，五。
[[i] 本帖最後由 瓜農自足 於 2014-5-30 05:40 PM 編輯 [/i]] 計算一
一個正方體可做8個，9個正方體就72個，[color=Red]再加上邊長為\(\sqrt{6}\)的 8 個正三角形，共 80 個[/color]
感謝 saqwsaqw 老師指正
計算五
第二頁小蝦米老師已解
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-8-6 01:45 PM 編輯 [/i]] 謝謝鋼琴師說明，了解了。 回復 37# thepiano 的帖子
正方體邊的中點也可以做8個正三角形
回復 39# saqwsaqw 的帖子
對，還有 8 個邊長為\(\sqrt{6}\)的正三角形，感謝指正忽然想起這題去年明倫高中考過