整理一下算式
x = 201，[x] + [2x] + [3x] + [4x] = 2010
x = 202，[x] + [2x] + [3x] + [4x] = 2020
故 201 < x < 202
令 x = 201 + y (0 ＜ y ＜ 1)
[x] + [2x] + [3x] + [4x] = 201 * 10 + [2y] + [3y] + [4y] = 2014
[2y] + [3y] + [4y] = 4
(1) 0 ＜ y ＜ 1/2
[2y] + [3y] + [4y] ≦ 0 + 1 + 1 = 2，不合
(2) 1/2 ≦ y ＜ 2/3
[2y] + [3y] + [4y] = 1 + 1 + 2 = 4，合
(3) 2/3 ≦ y ＜ 1
[2y] + [3y] + [4y] ≧ 1 + 2 + 2 = 5，不合
故 201又(1/2) ≦ x < 201又(2/3)
回復 19# Ellipse 的帖子
謝謝！組合想法好清楚回復 21# thepiano 的帖子
鋼琴老師這樣寫有系統多了~受教!! \([x]+[2x]+[3x]+[4x]=2014\)，求\(x\)的範圍這裡有類題
\( [\; x ]\; \)表示不大於x的最大整數(\( x \in R \))。試求滿足\( [\; x ]\;+[\; 2x ]\;+[\; 3x ]\;+[\; 4x ]\;=2004 \)之x的範圍。[u] [/u]
(93北一女中數學科競試，h ttp://web.fg.tp.edu.tw/~math/blog/data/exam/group2/pdf2/932t-1a.pdf連結已失效)
對任意實數\(x\)，以符號\([\;x ]\;\)表示小於或等於\(x\)的最大整數。求滿足\([\;a ]\;+[\;2a ]\;+[\;4a ]\;+[\;8a ]\;=100\)的最小的實數\(a\)。
(2008TRML個人賽)
For any real number t, denote by [t] the greatest integer which is less than or equal to t. For example:\( [\;8]\;=8 \),\( [\; \pi ]\; = 3 \), and\( \displaystyle [\; \frac{-5}{2} ]\; \) = -3. Show that the equation \( [\; x ]\;+[\; 2x ]\;+[\; 4x ]\;+[\; 8x ]\;+[\; 16x ]\;+[\; 32x ]\;=12345 \) has no real solution.
(Canada National Olympiad 1981，[url]https://artofproblemsolving.com/community/c5026[/url])
證明不存在實數\(x\)，使得\([x]+[2x]+[4x]+[8x]=147\)。
(106羅東高中，[url]https://math.pro/db/thread-2801-1-1.html[/url])
111.3.20補充
設\([x]\)表示不大於實數\(x\)的最大整數，則滿足方程式\(\displaystyle \left[\frac{x}{2}\right]+\left[\frac{x}{3}\right]+\left[\frac{x}{4}\right]+\left[\frac{x}{5}\right]=69\)的所有正整數\(n\)之和為[u] [/u]。
(110高中數學能力競賽北二區筆試二，[url]https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html[/url])
回復 24# bugmens 的帖子
這沒有做過，壓根不會注意到這麼細的地方。高斯函數真的是一個痛。
回復 1# johncai 的帖子
提供以下3題..但第7不太確定...順便請教一下怎麼思考...感恩^^1. p,q為實數, x^{3}-px+q=0 ,有3實根. 若 a為一根,證明 - 根號 (4P/3) <= a <= 根號 (4P/3)3. 就a,b,c,d 為實數,且a不為0,就a,b,c,d關係討論ax^3+bx^2+cx+d 和ax^3+dx^2+cx+b的最高公因式情形
7. 三角錐D-ABC 底面為正三角形ABC, D在三角形ABC中心正上方,相鄰2側面的2面角 2m (還是 m??)
底面中心到側面稜邊的距離OE=1 ( E在DB上...有圖),設t=tan m ,以t表D-ABC體積
回復 26# natureling 的帖子
1. 最公高因式，可以用輾轉相除法處理，兩個多項式相減會得 \( (b-d)x^2 - (b-d) \)當 \( b =d \) 時，兩多項式完全相同，最高公因式，就是自己本身
當 \( b \neq d \) 時，其最高公因式必為 \( x^2 -1 \) 之因式，以因式定理檢驗之
再以 \( x^2 - 1 \) 除 \( ax^3+bx^2+cx+d \) 可得 \( (a+c)x + (b+d) \)，再用因式定理檢查 \( x^2-1 \) 和 \( (a+c)x+b+d \)的公因式
若 \( a+c = b+d \)，則 \( x+1 \) 為公因式
若\( a+c = -(b+d) \)，則 \( x-1 \) 為公因式
再用以上兩個條件分類可產生 4 種情形，再加上先前 \( b=d \) 的情況，總有 5 (種可能)類
回復 26# natureling 的帖子
請問自然兄~第1題的p是否大於0?回復 28# hua0127 的帖子
好像沒有..=.=...回復 29# natureling 的帖子
設3實根為\(a,b,c\), 則\(a+b+c=0,ab+bc+ca=-p\), 故
\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=2p\) (\(\ge 0\)?), 由柯西不等式
\(\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\ge {{\left( b+c \right)}^{2}}\Rightarrow 2\left( 2p-{{a}^{2}} \right)\ge {{\left( -a \right)}^{2}}\) 移項得到\({{a}^{2}}\le \frac{4p}{3}\)
當p為非負時，可推得\(a\in \left[ -\sqrt{\frac{4p}{3}},\sqrt{\frac{4p}{3}} \right]\)
不知道這樣寫有沒有遺漏什麼？
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-16 08:59 AM 編輯 [/i]]
回復 28# hua0127 的帖子
這題中，題意中的三實根隱含了 \( p \) 必為非負否則 \( p<0 \) 時, 3 次函數 \( f(x) = x^3 - px + q \) 為嚴格遞增函數，其導數恆正，此時原方程式僅有一實根。
提供一個另解. 從三次函數的圖形著手
\( f'(x) = 0 \) 之解為 \( x = \pm \sqrt{\frac p3} \)
改變 q 值，圖形上下移動，三根最小者有最小值的時候，圖形在 \( x = \sqrt{\frac p3} \) 處的極小值恰為 0，此時三根為 \( \sqrt{\frac p3}, \sqrt{\frac p3}, -2\sqrt{\frac p3} \)
同理，三根最大者有最大值的時候，圖形在 \( x = - \sqrt{\frac p3} \) 處的極大值恰為 0，此時三根為 \( -\sqrt{\frac p3}, -\sqrt{\frac p3}, 2\sqrt{\frac p3} \)
故 \( -\sqrt{\frac{4p}{3}} \leq a \leq \sqrt{\frac{4p}{3}} \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-19 05:15 PM 編輯 [/i]]
回復 31# tsusy 的帖子
寸絲兄的思維總是能令我恍然大悟~條件藏在題意中竟然不覺，還懷疑題目有問題，但其實不是，這壞習慣要多留意~
回復 32# hua0127 的帖子
沒有這麼嚴重啦，原本我也是一樣的想法，以為題目漏條件了看了好幾次，剛剛才突然想到 tsusy老師可請教一下
再用以上兩個條件分類可產生 4 種情形是指以下這樣嗎??謝謝
(1) a+c=b+d=1 和a+c=b+d=-1
(2) a+c=-(b+d)=1 和a+c=-(b+d)=-1
[quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2014-5-15 10:31 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10535&ptid=1892][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
1. 最公高因式，可以用輾轉相除法處理，兩個多項式相減會得 \( (b-d)x^2 - (b-d) \)
當 \( b =d \) 時，兩多項式完全相同，最高公因式，就是自己本身
當 \( b \neq d \) 時，其最高公因式必為 \( x^2 -1 \) 之因式，以因式定理檢 ... [/quote]
回復 12# thepiano 的帖子
想請問一下鋼琴大師或各位先進, 下面這個式子是怎麼來的? 或是什麼有名的不等式???(x + 1/x)^2 + (y + 1/y)^2 ≧ (x + 1/x + y + 1/y)^2/2
[[i] 本帖最後由 David 於 2014-5-22 09:31 AM 編輯 [/i]] \(\begin{align}
& {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}\ge 2\left( x+\frac{1}{x} \right)\left( y+\frac{1}{y} \right) \\
& 2\left[ {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}} \right]\ge {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+2\left( x+\frac{1}{x} \right)\left( y+\frac{1}{y} \right)+{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}={{\left( x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y} \right)}^{2}} \\
& {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}\ge \frac{{{\left( x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y} \right)}^{2}}}{2} \\
\end{align}\)
回復 35# David 的帖子
2. #12 鋼琴兄用的應該是柯西不等式\( \left[(x+\frac1x)^2+(y+\frac1y)^2\right]\left(1^2+1^2\right)\geq(x+\frac1x+y+\frac1y)^2 \)
順帶來個另解
令 \( f(x)=(x+\frac1x)^2 = x^2+2+\frac1{x^2} \), 則 \( f''(x)=2 + \frac{6}{x^4}>0 \)
故 f(x) 在 (0,1) 上為凸函數(convex function), 由凸函數不等式有
\( \frac{f(x)+f(y)}{2}\geq f(\frac{x+y}{2})=f(\frac12)=\frac{25}{4} \)
且當 \( x=y = \frac12 \) 時等號成立
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-22 01:56 PM 編輯 [/i]]
回復 37# tsusy 的帖子
感謝兩位大師的說明!! 謝謝!! 回復 37# tsusy 的帖子那我也來玩一下
令a=x+1/x ,b=y+1/y
代入"方均根不等式"
[(a^2+b^2)/2]^0.5>=(a+b)/2
可證出~ 想請教有三實根的那題證明
若是由判別式<=0著手,會有27q^2+4(-p)^3<=0,
可推得p>=0,但後續該怎麼證??謝謝~