103彰化高中
先問其中一題[10^2001/(10^667+2002)]的末四位。其中[]為高斯符號
謝謝
之前應該寫過，但昨天想不出來
103.5.15補充
公告本校103學年度第1次教師甄選第一階段錄取名單
一、錄取名單請詳見附件。
二、各科最低錄取分數如下：
國文科：50.5分
數學科正式：66分、數學科代理：62分
物理科正式：74分、物理科代理：64分
化學科：84分
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回復 1# johncai 的帖子
令x=10^667,則10^2001/(10^667+2002)=x^3/(x+2002)=(x^2-2002x+2002^2)-(2002^3)/(x+2002) tzhau 兄打太快了，最後面應是 -(2002^3)/(x+2002) 彰化高中題目已經放出來了。。 3.將自然數按下表的方式排列，從上到下第i列，從左至右第j行的數記為\( f(i,j) \)，例如\( f(3,4)=18 \)，試求\( f(45,45)= \)[u] [/u]。
\( \matrix{1 & 2 & 4 & 7 & 11 & 16 & 22 & … \cr
3 & 5 & 8 & 12 & 17 & 23 & … & \cr
6 & 9 & 13 & 18 & 24 & … & & \cr
10 & 14 & 19 & 25 & … & & & \cr
15 & 20 & 26 & … & & & & \cr
21 & 27 & … & & & & & \cr
28 & … & & & & & & } \)
[解答]
\(\matrix{ & & f(1,1) & & f(2,2) & & f(3,3) & & f(4,4) \cr
1 & & 1 & & 5 & & 13 & & 25 \cr
& 0 & & 4 & & 8 & & 12 & \cr
& & 4 & & 4 & & 4 & & } \)
\( f(n,n)=1 \times C_0^n+0 \times C_1^n+4 \times C_2^n \)
\( f(45,45)=3961 \)
7.
有三個水桶A,B,C，其含水量分別為a,b,c。現在依A→B→C→A→B→C→A→…的順序，將前一個水桶的水倒一半至後一個水桶。規定每一回合為A→B→C→A，若n回合會趨近平衡狀態，則其平衡狀態時，水桶A中的水量為何？(試以a,b,c表示)
有甲、乙、丙三支大瓶子，開始時均裝有1公升的水，每一輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶，再將乙瓶的水倒出一半到丙瓶，然後再將丙瓶的水倒出一半回甲瓶，若ㄧ直操作下去當穩定狀態時，甲瓶的水量為[u] [/u]公升？
(102松山工農，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1655&page=1#pid8767[/url])
13.
試求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{2001}}{10^{667}+2002} \Bigg]\; \)的末四位數中，其中\( [\; x ]\; \)表示小於或等於x的最大整數？
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=708&page=1#pid1193[/url]
16.
若\( \displaystyle \cases{a+b=1 \cr ax+by=-1 \cr ax^2+by^2=-5 \cr ax^3+by^3=-13} \)，求\( ax^5+by^5 \)之值為[u] [/u]。
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=799&page=1#pid1495[/url]
18.
設圓的內接12邊形有六條邊長為a，六條邊長為b，則此12邊形的面積為[u] [/u]。(試以a,b表示)
感謝thepiano找到出處[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=10920[/url]
(北一女中數學挑戰甄選題，第九期第 3 題，[url]http://www.tcgs.tc.edu.tw/~sunp/compete/green-garden/09.pdf[/url])
ABCDEF為一圓內接六邊形，\( \overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=a \)，\( \overline{DE}=\overline{EF}=\overline{FA}=b \)，用a,b表六邊形之面積？
(93國立大里高中，[url]https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html[/url])
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-16 11:18 PM 編輯 [/i]] #2
某某年升大學聯考考題~~ #4
令2^(1/3)=a,則(1/2)^(1/3)=1/a
x=a- 1/a
又(a-1/a)*[a^2-1+(1/a)^2] =a^3-(1/a)^3 =2-1/2=3/2
所以x(x^2+3)=3/2
2x^3+6x-3=0
f(x)=(2x^3+6x-3)(x-1)+5
所求=5 請教第15題 [quote]原帖由 [i]loveray[/i] 於 2014-5-15 07:51 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10523&ptid=1890][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教第15題 [/quote]
我覺得題目打錯了
第一行,第三列應為zx
這樣行列式才能化為
[color=Red]4[/color](x^2+y^2+z^2+2)
面積條件有3x+4y+5z=12
再配合科西不等式求最小值
[紅色處感謝鋼琴兄指正]
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-18 09:55 AM 編輯 [/i]] #5
很特別的一個題目
如附件.gif
假設O(0,0),A(z1),B(z2),C(z3)
P(0,-3) ,Q(2,1)
當A在PQ的中垂線上移動時
不難發現OACB為相似四邊形
所以ACB亦為相似三角形
注意到只有[color=Red]OA垂直PQ的中垂線[/color]時
ACB的面積會最小
此時A點為(-0.2,-0.4)
剩下ACB面積最小值就留給網友做
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-15 08:34 PM 編輯 [/i]]
回復 10# Ellipse 的帖子
讓小弟破梗一下XD考慮\({{z}_{2}}\)為\({{z}_{1}}\)逆時針旋轉\(120{}^\circ \)後伸縮2倍，
\({{z}_{3}}\)為\({{z}_{1}}\)逆時針旋轉\(90{}^\circ \)後伸縮4倍，
若令\(\left| {{z}_{1}} \right|=a\), 則 \(\left| {{z}_{2}} \right|=2a\), \(\left| {{z}_{3}} \right|=4a\),
畫個圖將三角形ABC的面積表示出來為\(\left( 4-\frac{\sqrt{3}}{2} \right){{a}^{2}}\)
故考慮當\(\left| {{z}_{1}} \right|\)最小時會有最小面積，
就是橢圓大所描述的重點了，
\(a\)之最小值即為圓心到 \(P(0,-3),Q(2,1)\) 之中垂線之距離，
得到\({{a}^{2}}=\frac{1}{5}\), 故面積最小值為\(\frac{8-\sqrt{3}}{10}\) 試問第8題數對？很醜嗎？
回復 12# loveray 的帖子
填充 8. 從 \( y = \log_2 |x| \) 和 \( y = ax+b \) 的圖形來看，三交點的 \( x \) 坐標應為一個 \( x<1 \) 、兩個 \( x>1 \)。故可設三根為 \( t,2t,3t \)，且 \( \frac12 < t <1 \)，帶入解聯立方程式(看作 \( \log_2 t、at、b \) 是三個未知數)可得
\( t=\frac{\sqrt{3}}{2} \), \( a= \frac{2}{\sqrt{3}}(\log_{2}3-1) \), \( b = 2-\frac{3}{2}\log_{2}3 \)
至於醜不醜，我是覺得還好，因為這種方程式的解，也很難再更漂亮了
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-22 02:00 PM 編輯 [/i]] 想請教第11題~~
回復 14# n10410 的帖子
線性代數的觀念有提到：線性方程組 \(Ax=b\) 的解可拆成 \(Ax=0\) 之解與 \(Ax=b\)的某一特解之合成，
本題中\(Ax=0\)之解為\(t(2,3,4),t\in \mathbb{R}\), \((3,4,7)\) 為 \(Ax=b\)的某一特解，故所求答案為\((3,4,7)+t(2,3,4),t\in \mathbb{R}\)
簡單的證明如下：
令\(y\)為\(Ax=0\)之解, \({{y}_{0}}\)為\(Ax=b\)之一特解，
則\(A(y+{{y}_{0}})=Ay+A{{y}_{0}}=b\), 上述性質得證。
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-16 12:33 PM 編輯 [/i]] 謝謝hua老師的指點! [quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2014-5-15 10:41 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10505&ptid=1890][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url] [/quote]
3.
將自然數按下表的方式排列，從上到下第i列，從左至右第j行的數記為\( f(i,j) \)，例如\( f(3,4)=18 \)，試求\( f(45,45)= \) 。
這題小弟只會用暴力法硬做 = =" 第一次看到這種作法....能否請教這個作法的背景知識
[[i] 本帖最後由 airfish37 於 2014-5-19 10:38 PM 編輯 [/i]]
回復 17# airfish37 的帖子
這個作法，背後的原理是用差分求牛頓插值多項式的係數[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1123&page=1#pid3381]100北一女中[/url]，bugmens 老師就曾用這招解題。
至於為什麼係數這麼剛好，可以自行推敲一下或參考我先前在那篇 #17 的回文。 [quote]原帖由 [i]airfish37[/i] 於 2014-5-19 10:36 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10586&ptid=1890][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
3.
將自然數按下表的方式排列，從上到下第i列，從左至右第j行的數記為\( f(i,j) \)，例如\( f(3,4)=18 \)，試求\( f(45,45)= \) 。
此題提供當時的另一個想法～～(斜的看)
("1"),(2,3),(4,"5",6),(7,8,9,10),(11,12,"13",14,15),(16,17,18,19,20,21),(22,23,24,"25",26,27,28)...分堆
f(1,1)=1(第一列第一個)=1
f(2,2)={1+2}+2(第二列第二個)=5
f(3,3)={1+2+3+4}+3(第三列第三個)=13
f(4,4)={1+2+3+4+5+6}+4(第四列第四個)=25
因此可觀察出規律...
f(45,45)={1+2+3+4+....+88}+45(第45列第45個)=3961 #
[[i] 本帖最後由 wen0623 於 2014-5-24 09:10 PM 編輯 [/i]] 請問第9題的答案是不是：
S1 = (1/4)*sin(4[font=Symbol][size=12.0pt]q[/size][/font])
S2＝sin(2[font=Symbol][size=12.0pt]q[/size][/font])
感覺好像太容易算出來,覺得怪怪的不是很確定.