103華僑高中
記憶很模糊,盡量想了...還缺三題數據可能有問題,題目描述可能也有缺漏
麻煩其他有應考的老師們一起修正吧
感謝m4su6提供兩題題目
已知\( \displaystyle \theta=\frac{2\pi}{27} \)，則\( 1+2cos \theta+3 cos 2 \theta+4 cos 3 \theta+\ldots+27 cos 26 \theta= \)[u] [/u]。
請用二種方法解出\( \displaystyle f(x)=\frac{cosx}{2+sin x} \)之最大值。
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[[i] 本帖最後由 小蝦米 於 2014-6-1 08:33 PM 編輯 [/i]] 第 6題
95台中一中和102景美女中考過
第5題
102松山工農
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 01:50 PM 編輯 [/i]]
回復 2# thepiano 的帖子
大家的考題，都是互相觀摩來觀摩去。可見考古題重要性真的很高。 第2題好像是用二元的算幾證明三元的算幾
可借道四元的算幾 填1:考古題
填5:仿指考考題
回復 4# thepiano 的帖子
第2題的算幾不等式，也有不借道的方法學科中心有一篇 吳建生、張海潮的文章[url=http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/eArticleDetail.aspx?id=fc5e1c85-1332-45a6-a503-fec3107e79aa]有關算幾不等式的簡單證明[/url]
方法比較直覺，大致上，就是把數字往平均慢慢調，保持平均不變，乘積會遞增，調到最後，所有數都相等，而得
\( \displaystyle \prod_{i=1}^n a_i \leq \mu^n \)，其中 \( \mu = \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n} \)
開 \( n \) 根號得 \( \frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1\times a_2 \times \cdots \times a_n} \) [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-5-11 01:56 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10390&ptid=1886][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第2題
好像是用二元的算幾證明三元的算幾
可借道四元的算幾 [/quote]
共有幾種方法呢?
法1:科西不等式
a,b,c>0
(a²+b²+c²)*(b²+c²+a²)>=(ab+bc+ca)² (科西不等式)
得(a²+b²+c²)>=(ab+bc+ca)----------------(1)
又(a+b+c)²
>=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
>=3(ab+bc+ca) by(1)
所以(a+b+c)^3>=3(a+b+c)*(bc+ca+ab)
>=3[√abc+√abc+√abc]²=27abc (科西不等式)
可得(a+b+c)/3 >= (abc )^(1/3)
法2:歸納法
法3:微分法
法4:琴生不等式
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-11 03:26 PM 編輯 [/i]]
回復 7# Ellipse 的帖子
我個人最喜歡的是用ln(x)為凹函數(加負號的琴生不等式)：\[\ln \left( \frac{x+y+z}{3} \right)\ge \frac{1}{3}\left( \ln x+\ln y+\ln z \right)\]
(也適用於n個的情況)
但三個的算幾也可以這樣做：
分析：
\({{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}-3xyz=\left( x+y+z \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-\left( xy+yz+zx \right) \right)\)
\(\text{=}\frac{1}{2}\left( x+y+z \right)\left( {{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( y-z \right)}^{2}}+{{\left( z-x \right)}^{2}} \right)\ge 0\), 故
\({{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}\ge 3xyz=3\sqrt[3]{{{x}^{3}}{{y}^{3}}{{z}^{3}}}\)
做變數變換並且改寫一下說明的順序即可
(注意這邊所有的變數都是正數) 剛好還有印象其它兩題題目，但不太會用語法打字，就拍照上傳，並想問第一題，謝謝。
[img]http://i.imgur.com/CY4NcqI.jpg[/img]
幫忙打字
已知\( \displaystyle \theta=\frac{2\pi}{27} \)，則\( 1+2cos \theta+3 cos 2 \theta+4 cos 3 \theta+\ldots+27 cos 26 \theta= \)[u] [/u]。
請用二種方法解出\( \displaystyle f(x)=\frac{cosx}{2+sin x} \)之最大值。
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-21 08:13 AM 編輯 [/i]] 請用二種方法解出f(x)=cosx/(2+sinx)之最大值。
法1:
令P(sinx,cosx) ,A(-2,0)
即求PA斜率之最大值
(如附件圖)
法2:
令cosx/(2+sinx) =k
整理疊合,找振幅範圍
可求出k範圍~
法3:
令cosx=(1-t^2)/(1+t^2) ,sinx=2t /(1+t^2) 代入f(x)
寫成t函數,微分求最大值~
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-11 09:02 PM 編輯 [/i]] 第 1 題
θ = (2/27)π
cosθ + cos2θ + cos3θ + ... + cos26θ = -1
原求值式 = cosθ + 2cos2θ + 3cos3θ + ... + 26cos26θ
這有公式
答案是 -27/2
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 08:45 PM 編輯 [/i]] 請用二種方法解出f(x)=cosx/(2+sinx)之最大值。
法4:
令f(x)=ln (sinx+2)
f '(x)=cosx/(sinx+2)
所求即找f '(x) 的最大值
即f(x)斜率的最大值
如附件的圖
如何找f '(x)最大值?留給網友討論~
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-11 09:27 PM 編輯 [/i]] 請教第3題, 四邊形內一點到四個邊的距離平方和的最小值
謝謝 [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-5-11 08:14 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10409&ptid=1886][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 1 題
θ = (2/27)π
cosθ + cos2θ + cos3θ + ... + cos26θ = -1
原求值式 = cosθ + 2cos2θ + 3cos3θ + ... + 26cos26θ
這有公式
答案是 -27/2 [/quote]
鋼琴師:
不知哪裡算錯,我的答案為27/2
令w=cosθ+isinθ, 所求為27/1-w的實部 [quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2014-5-12 02:43 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10424&ptid=1886][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
不知哪裡算錯,我的答案為27/2
令w=cosθ+isinθ, 所求為27/1-w的實部 [/quote]
S = 1 + 2w + 3w^2 + ... + 27w^26
wS = w + 2w^2 + ... + 26w^26 + 27w^27
(1 - w)S = 1 + w + w^2 + ... + w^26 [color=Red]-[/color] 27
S = -27/(1- w)
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-12 06:32 AM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2014-5-12 12:50 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10423&ptid=1886][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教第3題, 四邊形內一點到四個邊的距離平方和的最小值[/quote]
[color=Blue]是四面體內一點到四個面的距離平方和的最小值嗎？[/color]
計算第 3 題
(1)
△ABC 面積為 P
△ABD 面積為 Q
△ACD 面積為 R
△BCD 面積為 S
P 到平面 ABC 的距離 = a
P 到平面 ABD 的距離 = b
P 到平面 ACD 的距離 = c
P 到平面 BCD 的距離 = d
四面體 ABCD 的體積為 V
則 (Pa + Qb + Rc + Sd)/3 = V
(Pa + Qb + Rc + Sd)^2 = 9V^2
(P^2 + Q^2 + R^2 + S^2)(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) ≧ (Pa + Qb + Rc + Sd)^2
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ≧ (9V^2)/(P^2 + Q^2 + R^2 + S^2)
剩下的就是找出四面體體積和四個面的面積了
110.7.25補充
已知點\(P\)為邊長為\(\sqrt{2}\)的正四面體\(ABCD\)內的任意一點，\(P\)到四個面的距離分別為\(d_1\)、\(d_2\)、\(d_3\)、\(d_4\)，則\(d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2\)的最小值為何？(A)\(\displaystyle \frac{1}{12}\) (B)\(\displaystyle \frac{3}{16}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{3}\) (D)\(\displaystyle \frac{4}{3}\)
(110全國高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3530-1-1.html[/url]) 計算第 3 題(1)
補個答案好了
四面體 ABCD 的體積為 8√3，△ABD = △BCD = 2√21，△ABC = △ACD = 12
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 之最小值為 72/19 [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-5-12 06:30 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10427&ptid=1886][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
S = 1 + 2w + 3w^2 + ... + 27w^26
wS = w + 2w^2 + ... + 26w^26 + 27w^27
(1 - w)S = 1 + w + w^2 + ... + w^26 - 27
S = -27/(1- w) [/quote]
謝謝鋼琴師
我自己太大意 請用二種方法解出f(x)=cosx/(2+sinx)之最大值。
法5:
令cosx=a ,2+sinx=b , a/b=m
則sinx=b-2 ,a=bm
又a²+(b-2)²=1-------(1)
將a=bm代入(1)
整理得(m²+1)b²-4b+3=0--------(2)
因為b為實數,所以(2)的判別式D>=0
16-12(m²+1)>=0
整理得-√(1/3)<= m <= √(1/3)
還會有多少種解法呢?
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-12 09:14 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-5-11 08:14 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10409&ptid=1886][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 1 題
θ = (2/27)π
cosθ + cos2θ + cos3θ + ... + cos26θ = -1
原求值式 = cosθ + 2cos2θ + 3cos3θ + ... + 26cos26θ
這有公式
答案是 -27/2 [/quote]
考古題~
99南區國中
100全國高中聯招都考過~