計算第 3 題(1)
補個答案好了
四面體 ABCD 的體積為 8√3，△ABD = △BCD = 2√21，△ABC = △ACD = 12
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 之最小值為 72/19 [/quote]
謝謝鋼琴師 [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-5-12 08:18 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10447&ptid=1886][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算第 3 題(1)
補個答案好了
四面體 ABCD 的體積為 8√3，△ABD = △BCD = 2√21，△ABC = △ACD = 12
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 之最小值為 72/19 [/quote]
敢問鋼琴師
四面體 ABCD 的體積為 8√3
這是如何算出? 今天忙了一整天都沒弄出頭緒來
不好意思,再度打擾你
回復 22# arend 的帖子
由頂點A作高至BCD平面，高為12/根號7(高的作法：我是分別做三角形ABD、BCD的高(垂足為M)再跟AC為成的三角形AMC，再由AMC面積求出MC上的高，此高級為四面體的高囉)，這樣就可以做出體積了!!!![[i] 本帖最後由 tacokao 於 2014-5-13 09:05 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2014-5-13 08:07 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10463&ptid=1886][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
四面體 ABCD 的體積為 8√3
這是如何算出?[/quote]
先畫一個邊長 5 cm 的菱形 ABCD，其中對角線 BD = 4
沿 BD 把 △ABD 折起來，讓 AC = 6
作 AE 垂直 BD 於 E，則 CE 也垂直 BD 於 E (E 點也是原本菱形對角線之交點)
AE = CE = √(5^2 - 2^2) = √21
令平面 ABD 和平面 CBD 的夾角 ∠AEC = θ
AC^2 = AE^2 + CE^2 - 2 * AE * CE * cosθ
cosθ = 1/7
sinθ = (4/7)√3
四面體的高 = AE * sinθ = (12/7)√7
體積 = (1/3) * △CBD * (12/7)√7 = (1/3) * 2√21 * (12/7)√7 = 8√3
回復 22# arend 的帖子
以邊長為5.5.6的三角形為底連連看後中間會有個邊長為4的正三角形
此三角形的高就是以5.5.6為底四面體的高 [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-5-13 09:16 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10465&ptid=1886][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
先畫一個邊長 5 cm 的菱形 ABCD，其中對角線 BD = 4
沿 BD 把 △ABD 折起來，讓 AC = 6
作 AE 垂直 BD 於 E，則 CE 也垂直 BD 於 E (E 點也是原本菱形對角線之交點)
AE = CE = √(5^2 - 2^2) = √21
令平面 ABD 和平面 ... [/quote]
謝謝鋼琴老師
我的作法是以一5,5,6為xy平面,頂點為(a,b,c),利用距離求出高c的值,問題我求的b值為0, 不知哪裡弄錯
所以上來請教老師,我又學到一個新方法,
謝謝 [quote]原帖由 [i]sorze[/i] 於 2014-5-13 11:12 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10466&ptid=1886][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
以邊長為5.5.6的三角形為底
連連看後中間會有個邊長為4的正三角形
此三角形的高就是以5.5.6為底四面體的高 [/quote]
sorze師,我原先的作法與你相似
但我沒發覺有邊長為4的正三角形
我還用去設頂點座標去解頂點的c值,謝謝提醒
第三題的第二小題
請問第三題的第二小題要如何做呢? 計算第 3 題(2) 延續第 (1) 小題的做法
定座標
P(x，y，z)
A(0，(-1/7)√21，(12/7)√7)
B(-2，0，0)
C(0，-√21，0)
D(2，0，0)
PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2
= x^2 + [x - (-2)]^2 + x^2 + (x - 2)^2 + [y - (-1/7)√21]^2 + y^2 + [y - (-√21)]^2 + y^2 + [z - (12/7)√7]^2 + z^2 + z^2
+ z^2
最小值出現在
x = [0 + (-2) + 0 + 2]/4 = 0
y = [(-1/7)√21 + 0 + (-√21) + 0]/4 = (-2/7)√21
z = [(12/7)√7 + 0 + 0 + 0]/4 = (3/7)√7
所求 = 8 + 102/7 + 108/7 = 38
回復 29# thepiano 的帖子
本題也可用最小值發生在重心時，所求的結果為\(\frac{1}{4}\left( {{\left\| \overrightarrow{AB} \right\|}^{2}}+{{\left\| \overrightarrow{AC} \right\|}^{2}}+{{\left\| \overrightarrow{AD} \right\|}^{2}}+{{\left\| \overrightarrow{BC} \right\|}^{2}}+{{\left\| \overrightarrow{BD} \right\|}^{2}}+{{\left\| \overrightarrow{CD} \right\|}^{2}} \right)=38\)
的方式求，補充一下。
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-14 04:40 PM 編輯 [/i]]
瞭解了 謝謝
[quote]原帖由 [i]sorze[/i] 於 2014-5-13 11:12 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10466&ptid=1886][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]以邊長為5.5.6的三角形為底
連連看後中間會有個邊長為4的正三角形
此三角形的高就是以5.5.6為底四面體的高 [/quote]
請問那這樣高不就變成2根號3?
另外想請教第7題.
謝謝
[[i] 本帖最後由 marina90 於 2014-5-18 10:56 PM 編輯 [/i]]
回復 32# marina90 的帖子
3. 那個高的確是 \( 2\sqrt{3} \) 怎麼了嗎？7. 我以為應漏打了一個的：設 \( \log\sqrt{x} \) 的首數比 \( \log\frac{x}{100} \) [color=Red]的[/color]多 2，求 \( x \) 的範圍.
依題意得 \( \left[\frac{1}{2}\log x\right]=\left[\log x\right] \)，令 \( t = \frac{1}{2}\log x \)，則 \( \left[t\right]=\left[2t\right] \)
易知 \( -\frac12 \leq t < \frac12 \)，故 \( \frac1{10} < x < 10 \)
回復 33# tsusy 的帖子
log[(x^1/2)/10] 的首數比 log (10^3/x) 的首數少 2, 求 x範圍正確題目應該是這樣?請問答案怎麼求?
回復 34# YAG 的帖子
仿寸絲兄的簡潔寫法，若沒手殘算錯的話XD解 \(\left[ \frac{1}{2}\log x-1 \right]=\left[ 3-\log x \right]-2\), 將常數提出來整理得到
\(\left[ \frac{1}{2}\log x \right]-\left[ -\log x \right]=2\), 令\(t=\frac{1}{2}\log x\), 解\(\left[ t \right]-\left[ -2t \right]=2\),
得到\(\frac{1}{2}<t<1\) 故\(10<x<100\)
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-20 01:22 AM 編輯 [/i]]
回復 33# tsusy 的帖子
不好意思是我漏打了...回復 29# thepiano 的帖子
請問第三題第二小題可不可以這樣看。設\(\overline{AC}\)之中點為E. 則 \(\overline{PA}^2+\overline{PC}^2=2(\overline{AE}^2+
\overline{EP}^2)\).
故P在\(\overline{AC}\)之中垂面時, 有最小值. 同理P在\(\overline{BD}\)之中垂面也有最小值.
因此, P應落在\(\overline{AC}\)和\(\overline{BD}\)之中垂線上. 因為中垂線易求, 為\(2\sqrt{3}\), 設\(\overline{EP}=x\), 則所求為
\(2[3^2+x^2+2^2+(2\sqrt{3}-x)^2]=2[2(x-\sqrt{3})^2+19]\geq38\)
[[i] 本帖最後由 David 於 2014-5-21 02:40 PM 編輯 [/i]]
回復 37# David 的帖子
你所提的 中垂線易求 為 2(根號3) , 易求??(有那麼容易嗎?)問: 是不是 利用 廣義四邊形定理 推廣到 四面體的中線 來算的
(蔡聰明 教授有一本書 裡面有證明)
剛剛試了一下 (我目前不會打符號,以下 ^2 符號代表 平方,以下(?)代表AC和BD的中點連線長度)
5^2+5^2+5^2+5^2 = 4^2 +6^2 + 4*(?)^2
如此 就算出 (?) = 2(根號3)
我看完了你的作法,又學會一招了.感謝.很不錯的想法
[[i] 本帖最後由 GGQ 於 2014-5-21 03:44 PM 編輯 [/i]] David 老師的方法很漂亮，不像小弟常用暴力解:)
以△ABC為底，若 AC 中點是 E，則△BDE是邊長 4 的正三角形
設 BD 中點為 F，David 老師的中垂線長就是 EF = 2√3
回復 39# thepiano 的帖子
我其實很怕長長的算式, 分數, 根號混在一起長長的, 一看到就怕. 雖然知道方向對, 就怕算錯(之後也果然算錯, 冏!)所以遇到題目總是想找數字簡單的式子, 也算是一種壞習慣.
也謝謝鋼琴大師的指教.