\(\begin{align}
& {{\left( \sqrt[3]{b-1} \right)}^{12}}+7{{\left( \sqrt[3]{b-1} \right)}^{11}}+1=0 \\
& {{\left[ {{\left( b-1 \right)}^{4}}+1 \right]}^{3}}={{\left[ -7{{\left( \sqrt[3]{b-1} \right)}^{11}} \right]}^{3}} \\
& {{\left( b-1 \right)}^{12}}+3{{\left( b-1 \right)}^{8}}+3{{\left( b-1 \right)}^{4}}+1+343{{\left( b-1 \right)}^{11}}=0 \\
\end{align}\)
之十二個根的乘積=1+3+3+1-343=-335 計算3
請問一定要把(3)~(5)合併成a_(n+1)嗎?不能將(2)~(4)合併成a_(n+1)嗎?
這樣也符合第2位有三個黨阿?謝謝~
(1) 親XXXXX (XXX只是表示後面有n+1位) 此時方法數 a_(n+1)
(2) 國(親)XXXX
(3) 國(國)XXX
(4) 民(民)XXX
(5) 民親XXX ： (後面有n位，第2位有親民黨隔開) 後面n個方法數即 a_n
[[i] 本帖最後由 marina90 於 2014-5-18 01:01 PM 編輯 [/i]]
回復 43# marina90 的帖子
計算3 中，國、民對稱，可互換，所以 (2~4) 合併也可以[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-20 01:28 PM 編輯 [/i]]
回復 38# wrty2451 的帖子
這題是三角函數的化簡名題，我記得(應該說是看過XD我自己是想不到)的作法應該就是wrty2451兄的做法：
\(\cos \left( 36{}^\circ \right)=\cos \left( 30{}^\circ +6{}^\circ \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \left( 6{}^\circ \right)-\frac{1}{2}\sin \left( 6{}^\circ \right)=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\)
\(\cos \left( 72{}^\circ \right)=\cos \left( 60{}^\circ +12{}^\circ \right)=\frac{1}{2}\cos \left( 12{}^\circ \right)-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \left( 12{}^\circ \right)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)
兩式相減得到
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\left( \cos \left( 6{}^\circ \right)+\sin \left( 12{}^\circ \right) \right)-\frac{1}{2}\left( \sin \left( 6{}^\circ \right)+\cos \left( 12{}^\circ \right) \right)=\frac{1}{2}\), 移項即為所求。
只是不知道有沒有更殺的方式? 計算1:另解
令f(x)=x^12+7x^11+1-----------(*1)
先將(x²-x+1)乘以(x+1)
令(x+1)(x²-x+1)=0 ,x^3= -1-------------(*2)
假設w=(1+√3i)/2 , -w²=(1-√3i)/2 為(*2)兩根
將x^3= -1代入(*1) , (x^3)^4 + 7*(x^3)^3*x²+1
化簡得2-7x²
所求=(2-7w²)[2-7(-w²)²]=(2-7w²)(2+7w)
=4+14(-w²+w)-49w^3 (w²-w+1=0 , -w²+w=1)
=4+14+49=67
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-18 10:09 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]hua0127[/i] 於 2014-5-18 01:29 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10574&ptid=1885][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這題是三角函數的化簡名題，我記得(應該說是看過XD我自己是想不到)
的作法應該就是wrty2451兄的做法：
\(\cos \left( 36{}^\circ \right)=\cos \left( 30{}^\circ +6{}^\circ \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \left( ... [/quote]
若只考cos36-cos72=? 可用和差化積 (以下"度"省略)
cos36-cos72
=2sin18*sin54=2sin18*cos18*cos36/cos18
=2sin36*cos36/ (2cos18)= sin72 / (2sin72)
=1/2
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-18 10:31 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2014-5-11 08:15 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10410&ptid=1885][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算5. 這題之前被學生問過，是 2014amc12#23
最短循環節長度為 \( n \) 的話，應該寫作 \( 0.\overline{a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_1a_0} \)
不想做除法的話，計算 \( n \) 可以用擴分的方式 \( 99^2 \times A = 99\ldots ... [/quote]
請問：為什麼會有99個1啊？
回復 48# panda.xiong 的帖子
計算5. 補充說明：其是只是簡單的餘數問題\( 111111111 \)：連續 1 ，被 9 整除者，最少是 9 個 1
\( 01010101...01 \)：同理，有 \( n \) 個 01，會有 \( 010101...01 \equiv n \) (Mod 99)
所以最少要 \( 99 \) 個 01 [quote]原帖由 [i]wrty2451[/i] 於 2014-5-17 11:00 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10566&ptid=1885][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
原式=(sin^2 6度+cos^2 6度+sin 6度-cos^2 6度+sin^2 6度) / (cos6度+2sin6度cos6度)
=(2sin^2 6度+sin 6度) / ( cos6度(1+2sin6度) )
=2sin6度/cos6度
=2tan6度
[/quote]
wrty2451兄您好:
答案不是2tan6度
分子部分化簡有問題 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2014-5-20 12:48 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10592&ptid=1885][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算5. 補充說明：其是只是簡單的餘數問題
\( 111111111 \)：連續 1 ，被 9 整除者，最少是 9 個 1
\( 01010101...01 \)：同理，有 \( n \) 個 01，會有 \( 010101...01 \equiv n \) (Mod 99)
所以最少要 \( 99 \) 個 01 ... [/quote]
請問寸絲老師!
關於 99A=1010....101 ，代表最少會有 99個01，那也可能會是198，297...等等99的倍數個01，
那要如何確定一定會是99個01呢!有沒有可能99不合，符合的是198個01呢!?
回復 51# cfyvzuxiz 的帖子
那個操作是擴分，不會有不合的問題在，例\( \frac{1}{11} = \frac{9}{99} = \frac{909}{9999} \)
要用哪個分數，看成無窮等比之和，寫成循環小數，結果都是 \( 0.\overline{09} \)
而循環節的長度，就是最小的那一個
回復 52# tsusy 的帖子
恩恩!!自己沒有把循環小數循環節的長度部分就是最小的那一個的觀念弄懂!
謝謝寸絲老師的解惑!謝謝您!! 填13:幾何+向量內積解
這題用幾何真的很有難度,小弟連問幾位高手中的高手都投降
後來想到還是要搭配代數來處理
圖形參考附件(下面度省略)
題目改成[cos12-(-1-sin6)] / [sin12-(-cos6)]
令A(sin12,cos12)=(cos78,sin78)
B(-cos6,-1-sin6)=(cos186,-1+sin186)
即證角ACO1=60度,可得所求AB斜率=√3
大概說一下,圖中EO1O2為正三角形
E(cos210,sin210)=(-√3/2,-1/2)
有一個關鍵地方要證明:AB垂直EO2
可利用向量內積來證
向量O2E=(-√3/2,1/2)
向量BA=(sin12+cos6,cos12+sin6+1)
兩向量內積為(-√3/2)sin12+(-√3/2)cos6+(1/2)cos12+(1/2)sin6+1/2
= -cos30*sin12+sin30*cos12-sin60*cos6+cos60*sin6+1/2
=sin18 -sin54+1/2 =0 (可仿前面證出sin54-sin18=1/2)
(這個等式證出其實答案也就得出
所以這題其實是用sin54-sin18=1/2 再改成和差化積的寫法)
若續看圖,易知EF弧=12
角ACO1=1/2(AQ弧+PF弧)=1/2(78+30+12)=60
可得所求AB斜率=√3 (不然算O2E的斜率也可以)
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-21 10:19 PM 編輯 [/i]]
回復 45# hua0127 的帖子
wrty2451、hua0127、Ellipse 三位老師，兩種解法，我都想不到敝人不才只好來一個[color=Red][b]無賴的猜答案[/b][/color]
當 \( x \approx 0, \sin x = x, \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \)
故 \( \sin 6^\circ \approx \frac{\pi}{30} \approx 0.104 \), \( \cos 12^\circ \approx 1 - 2 \times (0.104)^2 \), \( \sin 12^\circ \approx 0.208, \cos 6^\circ \approx 1 - \frac12 (0.104)^2 \)
而得 \( \displaystyle \frac{1+\sin6^{\circ}+\cos12^{\circ}}{\cos6^{\circ}+\sin12^{\circ}}\approx\frac{2.082}{1.203}\approx1.731 \)
故猜答案 \( \sqrt{3} \) [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2014-5-21 11:27 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10614&ptid=1885][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
wrty2451、hua0127、Ellipse 三位老師，兩種解法，我都想不到
敝人不才只好來一個無賴的猜答案
當 \( x \approx 0, \sin x = x, \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} \)
故 \( \sin 6^\circ \approx \frac{\pi}{30} \ap ... [/quote]
我真服了您可以這樣做~寸絲總是令人有異想不到的解法
昨天goole這題,發現幾年前老王也在yahoo知識家問過~(可見這題難度)
目前搜尋為止, 尚未有人用幾何方式求出,hua0127兄跟鋼琴兄的特殊解法
可謂最快速解.而小弟只想換一種(幾何)方式來詮釋而已~
純粹無聊,吃飽沒事做~~
回復 56# Ellipse 的帖子
沒錯~看橢圓兄寸絲兄和各位先進表演總是一種享受XD橢圓兄你的幾何詮釋也是令我嘆為觀止
小弟只是享受前人的做法而已XD 想請教填充2和4 謝謝
回復 58# 阿光 的帖子
填4. 假設只解出 \( A,B,C \) 其一者分別有 \( a,b,c \) 人，恰解出 \( B, C \) 兩題者有 \( d \) 人，則 \( \frac{b+d}{c+d}=2\Rightarrow b=2c+d, a=b+c=3c+d \)
總人數為 \( 25=a+(a-1)+b+c+d=9c+4d-1 \)
\( (c,d) \) 有唯一的正整數解 \( (2,2) \)，故所求 \( b=6 \)。
回復 58# 阿光 的帖子
關於填充二把條件平方後得sin兩倍角值後帶回原條件檢驗，得出sin(theta)=√6/3, cos(theta)=√3/3唯一確定
再令A=log_2(x) 將f(x)配方得出臨界點x後
帶入f(x)即得(-1/8)
給你參考
回復 20# tsusy 的帖子
想請問老師為什麼最後三類國國XXXX
民民XXXX
民親XXXX，
三類合併有 an+1 種?