103中正高中
＊想請教4,7,11..感恩，另外7我的想法如下,但錯了@@7. 我想說d(D,底面)=1/2 AO=1/2*3根號3
1/2 HG= 根號(9-9/4)=3根號3 /2
我想成D(0,3根號3 /2 ) ,G( 3根號3 /2 ,0)
令抛物線方程式為 x^2 = 4c(y-3根號3 /2 )...然後代入G點
|4c| =3根號3 /2 但答案是根號3...
所以想不出自己哪兒出錯了?請幫忙看一下..感恩
回復 1# natureling 的帖子
好像還少一題,印象中是填充最後一題化簡 (1+sin6度-cos12度) / (cos6度+sin12度) =?
在此提供我算出的答案參考 ( tan6度) (不保證對喔,僅個人演練之) 計算第 5 題
還蠻好玩的 ...
1/99^2 = (1/99)/99
= (0.01 + 0.0001 + 0.000001 + ...)/99
= 0.01/99 + 0.0001/99 + 0.000001/99 + ...
寫成直式如下
0.0001010101...
0.0000010101...
0.0000000101...
0.0000000001...
+ ...............
-------------------------
0.0001020304......
1/99^2 = 0.0001020304......9697990001020304......
循環節中，因進位的關係，97 之後是 99，沒有 98
.....97
.....0098
.....000099
.....00000100
.....0000000101
+ ...................
-------------------------
.....979900010.......
故 n = 2 * 99 = 198 計算第 2 題
[x^2 + x] = 6x + 20 為整數
故 x 為有理數
x^2 + x - 1 ＜ 6x + 20 ≦ x^2 + x
x^2 + x - 21 ＜ 6x ≦ x^2 + x - 20
令 6x = a 為整數
x = a/6
(a/6)^2 + (a/6) - 21 ≦ a ≦ (a/6)^2 + (a/6) - 20
720 ≦ a(a - 30) ＜ 756
易知 a = 46 or -16
x = 23/3 or -8/3
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 10:53 AM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]GGQ[/i] 於 2014-5-11 01:52 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10375&ptid=1885][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
好像還少一題,印象中是填充最後一題
化簡 (1+sin6度-cos12度) / (cos6度+sin12度) =?
在此提供我算出的答案參考 ( tan6度) (不保證對喔,僅個人演練之) [/quote]
對啦! 要對自己有信心~
填5: 20√5/ 7
填6: 49π/3
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-11 11:17 AM 編輯 [/i]] 填充第 1 題
易知
a、b、c 不可能均為奇數
(1) a = 2
(a + b) * b + 1 = (b + 1)^2 = c + 121
(b + 12)(b - 10) = c
b = 11，c = 23
(2) b = 2
(a + b) * b 為偶數
c + 120 為奇數
不合
(3) c = 2
(a + b) * b = 2 * 61
b = 2，a = 59
不合
所求 = 1270
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 11:21 AM 編輯 [/i]] 計算4
答:5π/2 或9π/2 另想請教填充3,9,10,11 (當然底下若有錯的..想順便請教一下好了,實在很糟=.=") 還有計算3
感恩以上老師的答案..真開心算已都有算出跟老師一樣的答案...此外想問一下這幾題答案對嗎?
填2. -1/8 填4. 14 填7. 3根號3/2 填8. -5/4 填12. 5 計1. 67
回復 3# thepiano 的帖子
計算5. 這題之前被學生問過，是 [url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=44&year=2014&sid=7be4427598a74cf248a7427996e5319b]2014amc12#23[/url]最短循環節長度為 \( n \) 的話，應該寫作 \( 0.\overline{a_{n-1}a_{n-2}\ldots a_1a_0} \)
不想做除法的話，計算 \( n \) 可以用擴分的方式 \( 99^2 \times A = 99\ldots 99 \)
而得 \( 99 \times A =10101 \ldots 01 \) 可推得右式為 99 個 1，再推 \( 99 \ldots 99 \) 就是 198 個 9，所以 \( n =198 \)
再看等號的個位數可得 \( A \) 的個位數 \( a_0 =9 \)。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-11 08:27 PM 編輯 [/i]] 第 9 題
任取 2 數，必為一大一小
其差可能為 1，2，3，...，49
差為 n 的情形有 (50 - n) 種，n = 1 ~ 49
所求 = (1 * 49 + 2 * 48 + 3 * 37 + ... + 49 * 1)/C(50，2) = 17
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 09:31 PM 編輯 [/i]] 計算第 3 題
題意是國、民、親 3 黨"共"派出 7 人，排成一列時只論黨，而把同黨的人視為相同嗎？
這題可能要從親民黨派 7 人、派 6 人、派 5 人、...、派 0 人，再插入國民黨和民進黨的人去討論
有沒有老師有快速解法？
回復 10# thepiano 的帖子
填充第3題共有7種可能
小------------大
9,10,10,12,29
8,10,10,14,28
7,10,10,16,27
6,10,10,18,26
5,10,10,20,25
4,10,10,22,24
10,10,10,10,30
[[i] 本帖最後由 GGQ 於 2014-5-11 09:34 PM 編輯 [/i]]
回復 13# thepiano 的帖子
這樣第 2 大的數都是 10 ??為何? 不懂??
譬如: 9,10,10,12,29 這一組
第2大的數不是 12 嗎? [quote]原帖由 [i]GGQ[/i] 於 2014-5-11 09:28 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10416&ptid=1885][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這樣第 2 大的數都是 10 ??
為何? 不懂??
譬如: 9,10,10,12,29 這一組
第2大的數不是 12 嗎? [/quote]
抱歉，小弟把第 2 小當成第 2 大，哈哈
修正一下:)
第 3 題
(1) 第 2 大數是 10
10，10，10，10，30
(2) 第 2 大數大於 10
由於眾數是 10
由小而大 x，10，10，y，x + 20
2x + y = 70 - 10 * 2 - 20 = 30
(x，y) = (9，12)，(8，14)，(7，16)，(6，18)，(5，20)，(4，22)
故第 2 大數有 7 種可能
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-11 09:42 PM 編輯 [/i]]
回復 10# thepiano 的帖子
這題填充第9題我把他想成1~50 號球
抽出2個球 S和T , S<T
設二顆球之中編號最大者為 T， T 之期望值為34
設二顆球之中編號最小者為 S， S 之期望值為17
所以 T-S = 17
這樣思考可以嗎?
回復 15# GGQ 的帖子
填9. 這個方法當然是 OK，思考上很有趣但是計算 T 或 S 的期望值，會是一件比較簡單的事嗎？
提供一個計算方法
\( E(S)=\sum\limits _{k=1}^{49}P(x\geq k)=\sum\limits _{k=1}^{49}\frac{C_{2}^{50-k+1}}{C_{2}^{50}}=\sum\limits _{k=2}^{50}\frac{C_{2}^{k}}{50\cdot49}=\frac{C_{3}^{51}}{C_{2}^{50}}=17 \)。
又 \( E(T+S)=\frac{1+50}{2}\cdot2=51 \Rightarrow E(T)=34 \)。
因此 \( E(T-S)=34-17=17 \)。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-12 11:55 AM 編輯 [/i]]
回復 11# thepiano 的帖子
計算第3題小弟先拋磚引玉，提供一個需要各位驗證的暴力解，
也請大家幫小弟仔細偵錯以免誤人，
，我前提是參考鋼琴老師所說，先將同黨籍的人視為同物
因為有點多，故小弟直接打在檔案上，不方便之處請多包涵
[url]https://www.dropbox.com/s/9wwr9pv1kz7fcu6/103%E4%B8%AD%E6%AD%A3%E8%A8%88%E7%AE%97%E7%AC%AC3%E9%A1%8C.pdf[/url]
(經寸絲兄指點已於5.13修正)
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-13 06:59 PM 編輯 [/i]]
回復 16# tsusy 的帖子
計算T和S的計算方法,我是這樣算的先把 T 和 S 取出 , 50球 剩48球
___S____T____
再把48球 平均放入 T和S的3個縫隙(一個縫隙 放16球)
如此 算出 S和T的期望值了
(這招也是從 瑋岳 大大 那邊學來的)
[[i] 本帖最後由 GGQ 於 2014-5-12 03:44 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]GGQ[/i] 於 2014-5-12 02:28 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10441&ptid=1885][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算T和S的計算方法,我是這樣算的
先把 T 和 S 取出 , 50球 剩48球
___S____T____
再把48球 平均放入 T和S的3個縫隙(一個縫隙 放16球)
如此 算出 S和T的期望值了 ... [/quote]
這一招站長大人用過 ...:)
回復 17# hua0127 的帖子
計算 3. 以遞迴方式求解，令 \( a_{n} \) 表示派出 \( n \) 個人的坐法數，則 \( a_{1}=3 \), \( a_{2}=3^{2}-2=7 \)。\( n+2 \) 人的坐法中，看依兩人分成以下5類
親XXXXX 有 \( a_{n+1} \) 種
國親XXXX 有 \( a_{n} \) 種
國國XXXX 見下下行
民民XXXX 見下行
民親XXXX，三類合併有 \( a_{n+1} \) 種
\( a_{n+2}=2a_{n+1}+a_{n} \), \( \left\langle a_{n}\right\rangle :\,3,7,17,41,99,239,577,\ldots \)。
故 7 人時， \( a_7 = 577 \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-12 05:18 PM 編輯 [/i]]