虛數omega
已知w^100=1，且w是虛數，求(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^98)(1-w^99)之值?答案很像是100 請大家幫忙解答 [quote]原帖由 [i]qaz[/i] 於 2014-5-8 02:45 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10323&ptid=1884][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]答案很像是100 請大家幫忙解答 [/quote]
已知w^100=1，且w是虛數，求(1-w)(1-w^2)(1-w^3)…(1-w^98)(1-w^99)之值?
(x^100-1)=(x-1)(x^99+x^98+..........+x+1)
=(x-1)(x-w)(x-w^2).....................(x-w^99)
x^99+x^98+..........+x+1=(x-w)(x-w^2).....................(x-w^99)------------------(*)
令x=1 代入(*)可得~
如果w=cos(2Pi/100)+isin(2Pi/100)答案就對了~
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-8 04:17 PM 編輯 [/i]]
回復 1# qaz 的帖子
題有誤或答有誤。依題目的敘述，答案不唯一例 \( i^{100} =1 \)，但 \( 1-i^4 =0 \)，故該乘積為 0 (x^100-1)=(x-1)(x^99+x^98+..........+x+1)
=(x-1)(x-w)(x-w^2).....................(x-w^99)
這步是為甚麼ㄋ
請教一下 謝
[[i] 本帖最後由 qaz 於 2014-5-12 02:27 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]qaz[/i] 於 2014-5-12 02:26 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10440&ptid=1884][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
(x^100-1)=(x-1)(x^99+x^98+..........+x+1)
=(x-1)(x-w)(x-w^2).....................(x-w^99)
這步是為甚麼ㄋ
請教一下 謝 [/quote]
若w=cos(2Pi/100)+isin(2Pi/100)為x^100-1=0的一根
則1,w^2,w^3,..................,w^99為x^100-1=0其他99個根
所以x^100-1=(x-1)(x-w)(x-w^2).....................(x-w^99)
以根的型式因式分解~
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