103桃園高中
. 填6:已知複數\(z_1,z_2\)滿足\(|\;z_1|\;=|\;z_2|\;=1\)，且\(\displaystyle z_1+z_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\)，求\((z_1z_2)^{10}=\)[u] [/u]。
[解答]
偷懶做法:
取z1=1+0i ,z2=cos120度+i*sin120度
(z1*z2)^10=(cos120度+i*sin120度)^10
=cos1200度+i*sin1200度
=cos120度+i*sin120度
= -1/2+(3^0.5/2)i 填充7.
將與105互質的所有正整數由小到大排成一個數列，則此數列第2014項為？
將與105互質之所有正整數由小到大排成一數列，求此數列第1000項之值。
(新奧數教程高一第2講 有限集元素的數目，98高雄市聯招，[url]https://math.pro/db/thread-797-1-1.html[/url])
[attach]2194[/attach]
104.6.20新增
將與2015互質的正整數由小到大排列，則第2015個數為。
(104高雄市高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-2290-1-1.html[/url])
111.7.12補充
所有正整數從小排列到大，求與105互質的第1204項的數為何？
(111屏東高中，[url]https://math.pro/db/thread-3663-1-1.html[/url])
112.5.30
將與110互質的所有正整數，從小到大排成數列，求此數列的第2023項。
(112羅東高中，[url]https://math.pro/db/thread-3752-1-1.html[/url])
計算3.
請問：函數\( f(x)=cos \root{3}\of{x} \)是不是週期函數？若是，請證明；若不是，也請證明。
證明：函數\( y=sin x^2 \)不是一個週期函數。
(奧數教程高一 第10講 三角函數的性質及應用)
[attach]2227[/attach]
計算4.
設甲袋原有\( k-1 \)( \( k \ge 2 \) )個白球與1個黑球，而乙袋原有k個白球。今先自甲袋取一球放入乙袋中，再自乙袋取一球放入甲袋中，這動作我們稱之為一局。對每個正整數n，令\( P_n \)表示n局後黑球仍在甲袋的機率。
(1)求\( P_2 \)。
(2)求\( P_n \)。
(3)利用(1)的結果，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n \)的值。
(96筆試一，臺灣師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題，[url]http://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=14[/url])
回復 1# natureling 的帖子
12.在整數列\(\displaystyle \left[\frac{1^2}{103}\right],\left[\frac{2^2}{103}\right],\left[\frac{3^2}{103}\right],\ldots,\left[\frac{k^2}{103}\right],\ldots,\left[\frac{103^2}{103}\right]\)中，共有[u] [/u]個互不相等的整數(其中符號[]為高斯符號)。
[解答]
做一下填 12.，
\( \left[\frac{52^{2}}{103}\right]=26+\left[\frac{26}{103}\right] \),
\( 53^{2}=52^{2}+103+2, \left[\frac{53^{2}}{103}\right]=27+\left[\frac{26+2}{103}\right] \)
\( 54^{2}=53^{2}+103+4, \left[\frac{54^{2}}{103}\right]=28+\left[\frac{26+2+4}{103}\right] \)
\( 55^{2}=54^{2}+103+6, \left[\frac{55^{2}}{103}\right]=29+\left[\frac{26+2+4+6}{103}\right] \)
...
\( 103^{2}=102^{2}+103+102 , \left[\frac{103^{2}}{103}\right]=77+\left[\frac{26+2+4+6+\ldots+102}{103}\right] \)
所求 \( =103+1-\left[\frac{26+2+4+6+\ldots+102}{103}\right]=78 \)。
說明如下：上面的算式計算有幾個相鄰項的差為 2，這些相鄰的差為 2，就產生某個正整數被跳過而沒有出現。
\( (k+1)^2 - k^2 = 2k+1 \)，當 \( k \leq 52 \)，分子增加不到 103，相鄰項的差至多為 1
而 \( k \geq 53 \) 的情況，我們將第 k 項寫成 \( \left[\frac{k^{2}}{103}\right]=(k-26)+\left[\frac{}{103}\right] \)
每次至少增加 1，而當後方的 [ ] 也增加 1 時，就會增加 2。
而後方的 [ ] 如同 \( k \leq 52 \) 之情況，不會產生增加 2，不是加 0 就是加 1
故計算其在 \( k =103 \) 之值為 26，便知這些相鄰項的差有 26 個為 2。
因此從 0~103 的整數中，有 26 個被跳過，所求 = \( 103 + 1 -26 =78 \)。
回復 4# tsusy 的帖子
這題目我寫104個，明知道會錯，應該有些會沒有。但已經餓到受不了。就把104寫下去了回復 5# shingjay176 的帖子
填 12. 做完發現，其實沒有這麼複雜，做到 \( k=52 \)，其實就完成了後，因為 \( k\geq 53 \) 後每項皆相異故所求 = \( 1 + \left[ \frac{52^2}{103} \right ] + (103 -52) = 78\)
填充7
將與105 互質的所有正整數由小到大排成一個數列，則此數列的第2014 項為[u] [/u]?[解答]
我直接算105-35-21-15+7+5+3-1=48(每105個數會跟105互質的個數)
2014/48=41.....46=42..多兩位
105*42=4410 往回推3位 4409 4408 "4406"
很粗淺的方法供參考
回復 7# terry90618 的帖子
105*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)=48 每４８個—循環（1,2,4,...101,103,104)
2014＝４8＊４１＋４６（４８個數中第４６個）
ａ_｛2014｝＝ｌ０５＊４１＋101＝４４０６
順便請問，若用Ｘ*（1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)<=2014解
X<=4405.625（此題是小數，小數是否需進位至4406？以往遇到都是整數，再後往前尋找非3,5,7之倍數）。 想請教計算證明題第1(2)、3應該如何下手，沒什麼頭緒，謝謝。
回復 4# tsusy 的帖子
第一行就看不懂了><[52^2/103]=26
為什麼可以寫成34+[26/103]呢???
回復 9# uhepotim01 的帖子
計算1.已知橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的焦點為\(F_1,F_2\)，直線\(L\)通過\(F_1\)且與橢圓交於\(A,B\)兩點，
(1)求\(\Delta F_2AB\)的周長。
(2)求\(\Delta F_2AB\)面積的最大值。
[解答]
計算1(2)，我的切入點在線性變換，先把橢圓變成圓 \( x^2 + y^2 =a^2 \)
新的弦以 \( \overline{A'B'} \) 表示之，假設其與 \( \overline{F_1F_2} \) 的夾角為 \( \theta \)
以 \( \theta \) 表示三角形面積可得 \( \triangle F_2A'B' = \frac12 \times 2c \times 2\sqrt{a^2-c^2\sin^2\theta} \sin\theta \)
令 \( t = \sin^2 t \)，則上式平方為 \( \triangle'^{2}=4c^{2}(a^{2}t-c^{2}t^{2}) \)
當 \( \frac{a^{2}}{2c^{2}}\leq1 \) 時，\( \sin^{2}\theta=t=\frac{a^2}{2c^{2}} \) 時有最大值，開根號再壓扁得最大面積為 \( ab \)
當 \( \frac{a^{2}}{2c^{2}}>1 \) 時，\( \theta=\frac{\pi}{2}, t=1 \) 時有最大值，壓扁回橢圓時，該弦就是正焦弦，最大面積為 \( \frac{2b^2c}{a} \)
[b]回復 10# leo790124 的帖子[/b]
是我不小心寫錯，已修正為 \(\displaystyle \left[\frac{52^{2}}{103}\right]=26+\left[\frac{26}{103}\right] \)，
也就是 \( 52^2 = 103 \times 26 + 26 \) 請問填充9，11，謝謝
回復 12# Sandy 的帖子
第9題：已知實係數三次函數\(\displaystyle f(x)=\frac{a}{3}x^3-bx^2+(2-b)x+1\)，\(f(x)\)在\(x=x_1\)處有極大值，在\(x=x_2\)處有極小值，且\(0<x_1<1<x_2<2\)，則\(a+2b\)值的範圍為[u] [/u]。
[解答]
依題意，即 \(f'(x)=ax^2-2bx+(2-b)=0\) 之二根 \(x_1\), \(x_2\) 滿足 \(0<x_1<1<x_2<2\)，且 \(a>0\)
故須滿足 \(f'(0)>0\), \(f'(1)<0\), \(f'(2)>0\) 且 \(a>0\)
由以上限制範圍作圖，利用線性規劃概念可得所求範圍！
第11題：
已知\(\Gamma\)為\(y=ax^3+bx(a>0,b>0)\)，原點\(O\)為其反曲點，射線\(\vec{OA}\)在第一象限交\(\Gamma\)於\(A\)點。若\(P\)為曲線段\(OA\)上一點，且以\(P\)為切點的切線與\(\overline{OA}\)平行，則\(\displaystyle \frac{弓形APO的面積}{\Delta APO的面積}=\)[u] [/u]。
[解答]
暫時只想到暴力解，考場要這樣解應該會放棄...
設 \(f(x)=ax^3+bx\) \(\Rightarrow f'(x)=3ax^2+b\)
設切點 \(P(t,at^3+bt)\), \(t>0\)，則 \(\overleftrightarrow{OA}:y=f'(t)x\)
求 \(\overleftrightarrow{OA}\) 與 \(\Gamma\) 交點即解方程式 \(f'(t)x-ax^3-bx=0\) \(\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}t,0\)
可得交點 \(A(\sqrt{3}t,3\sqrt{3}at^3+\sqrt{3}bt)\)
由 \(O,P,A\) 三點坐標及三角形的行列式面積公式可得三角形 \(OAP\) 面積為 \(\sqrt{3}at^4\) (意外地不難算...)
而弓形面積 \(\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{3}t}f'(t)x-ax^3-bx\ dx=\int_{0}^{\sqrt{3}t}-ax(x^2-3t^2)dx=\frac{9}{4}at^4\)
故得所求 \(\displaystyle =\frac{\frac{9}{4}at^4}{\sqrt{3}at^4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\) 想請教填充2 ,3 .5題 謝謝
回復 14# 阿光 的帖子
填充第二題：已知\(x,y\in R\)，\(x^2+y^2=25\)，試求\(\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}\)的最大值為[u] [/u]。
[解答]
利用x^2+y^2=25
把原式拆成 sqrt(x^2+y^2+8y-6x+25) + sqrt(x^2+y^2+8y+6x+25)
=sqrt( (x-3)^2 + (y+4)^2 ) + sqrt( (x+3)^2 + (y+4)^2 )
看成半徑為5的圓上取一點到 (3,-4) , (-3,-4 )的距離和最大
不難看出取 點 (0,5) 時有最大值代入所求為 6 sqrt(10)
抱歉還不太會用語法，這裡的sqrt 是根號的意思
(我會再花時間看一下寸絲兄的教學XD 讓大家傷眼先說聲不好意思
好久沒上來了，這裡還是一樣充滿熱情，最近又想上來練功一下，
吸取各位先進的知識~
回復 15# hua0127 的帖子
填2.已知\(x,y\in R\)，\(x^2+y^2=25\)，試求\(\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}\)的最大值為[u] [/u]。
[解答]
我是用了凸函數不等式，對任意 \( a, b>0 \)，不等式 \( \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq\sqrt{\frac{a+b}{2}} \) 恆成立
以 \( (a,b) = (8y-6x+50, 8y+6x+50) \) 代入得
\( \frac{\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}}{2}\leq\sqrt{\frac{16y+100}{2}}=\sqrt{8y+50}\leq\sqrt{90} \)
因此 \( \sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}\leq6\sqrt{10} \)
兩個 \( \leq \) 在 \( (x,y)=(0,5) \) 時，等號同時成立
故最大值為 \( 6\sqrt{10} \)
[b]回復 13# Pacers31 的帖子[/b]
填11.
已知\(\Gamma\)為\(y=ax^3+bx(a>0,b>0)\)，原點\(O\)為其反曲點，射線\(\vec{OA}\)在第一象限交\(\Gamma\)於\(A\)點。若\(P\)為曲線段\(OA\)上一點，且以\(P\)為切點的切線與\(\overline{OA}\)平行，則\(\displaystyle \frac{弓形APO的面積}{\Delta APO的面積}=\)[u] [/u]。
[解答]
透過伸縮變換，面積比保持不變，故不失一般性可假設曲線方程式為 \( y=x^3+x \)
然後做相同的積分
回復 15# hua0127 的帖子
填充第二題：已知\(x,y\in R\)，\(x^2+y^2=25\)，試求\(\sqrt{8y-6x+50}+\sqrt{8y+6x+50}\)的最大值為[u] [/u]。
[解答]
利用 \({x^2} + {y^2} = 25\)
把原式拆成 \(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + {y^2} + 8y - 6x + 25} + \sqrt {{x^2} + {y^2} + 8y + 6x + 25} \\
= \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 4} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{\left( {y + 4} \right)}^2}}
\end{array}\)
看成半徑為\(5\)的圓上取一點到 \((3,-4) , (-3,-4 )\)的距離和最大
不難看出取點 \((0,5)\) 時有最大值代入所求為 \(6\sqrt {10} \) [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2014-5-7 07:06 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10294&ptid=1881][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填2. 我是用了凸函數不等式，對任意 \( a, b>0 \)，不等式 \( \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\leq\sqrt{\frac{a+b}{2}} \) 恆成立
[/quote]
柯西不等式也可以~
回復 14# 阿光 的帖子
第3題：已知數值資料\(\displaystyle \frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\ldots,\frac{n}{n}\)，其中\(\displaystyle \frac{i}{n}\)有\((2i+1)\)個，\(i=1,2,3,\ldots,n\)，\(n\in N\)。設此資料算術平均數為\(\mu\)，母體標準差為\(\sigma\)，求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\mu^2+\sigma^2)=\)[u] [/u]。
[解答]
設隨機變數 \(\displaystyle X=\frac{i}{n}\), \(i=1,2,\cdots, or\ n\)，滿足 \(\displaystyle P\Big(X=\frac{i}{n}\Big)=\frac{2i+1}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}\)
由等式 \(E[X^2]=\sigma^2+\mu^2\)
可得 \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(\sigma^2+\mu^2)=\lim_{n\rightarrow\infty}E[X^2]=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{i=1}^{n}\Big(\frac{i}{n}\Big)^2(2i+1)}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\cdot\frac{\sum_{i=1}^{n}(2i^3+i^2)}{\sum_{i=1}^{n}(2i+1)}=\cdots=\frac{1}{2}\)
111.2.22補充
將\( \displaystyle \frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n}{n} \)等\(n\)個數的算術平均數記為\(a_n\)，其標準差記為\(b_n\)，則\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\)[u] [/u]，\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n=\)[u] [/u]。
(81大學聯考試題，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2441&page=1#pid14824[/url]) [quote]原帖由 [i]Pacers31[/i] 於 2014-5-7 04:26 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10288&ptid=1881][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第9題：
依題意，即 \(f'(x)=ax^2-2bx+(2-b)=0\) 之二根 \(x_1\), \(x_2\) 滿足 \(00\)，則 \(\overleftrightarrow{OA}:y=f'(t)x\)
求 \(\overleftrightarrow{OA}\) 與 \(\Gamma\) 交點即解方程式 \(f'(t)x-ax^3-bx=0\) ... [/quote]
參考這篇大師們所寫的文章
h ttp://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/eArticleDetail.aspx?id=604c7541-5cda-4659-aa7b-14369827978b 連結已失效