回復 14# 阿光 的帖子
看寸絲兄用凸函數解真是高招，也感謝興傑兄花費寶貴的時間幫小弟打字XD ，小弟終於研究了轉latex的語法
補個填充第五題：
給定正實數\(a\)，若\(\displaystyle \lim_{x\to \infty}(\frac{x+a}{x-a})^x=e\)，則\(a=\)[u] [/u]。(其中\(e\)為自然對數的底數)
[解答]
(1) 作法1可以利用 \[{e^x}\] 為連續函數，然後用羅必達法則
\( \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(\frac{{x + a}}{{x - a}})^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {e^{x\ln (\frac{{x + a}}{{x - a}})}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty }\displaystyle \frac{{\ln (\frac{{x + a}}{{x - a}})}}{{\frac{1}{x}}}}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{ - \frac{{2a}}{{{{(x - a)}^2}}} \div \frac{{x + a}}{{x - a}}}}{{ - \frac{1}{{{x^2}}}}}}} = {e^{2a}}\)
(2) 作法2可以直接利用\({e^t} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {(1 + \frac{t}{x})^t}\)的定義，拆成兩個存在的極限相乘
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{{x + a}}{{x - a}}} \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{{2a}}{{x - a}}} \right)^x} = \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{\left( {1 + \frac{{2a}}{{x - a}}} \right)}^{x - a}} \cdot {{\left( {1 + \frac{{2a}}{{x - a}}} \right)}^a}} \right)\)
\(=\mathop {\lim }\limits_{(x - a) \to \infty } {(1 + \frac{{2a}}{{x - a}})^{x - a}} \cdot \mathop {\lim }\limits_{(x - a) \to \infty } {(1 + \frac{{2a}}{{x - a}})^a} = {e^{2a}} \cdot 1 = {e^{2a}}\)
然後解出 \(a=\frac{1}{2}\)
回復 21# hua0127 的帖子
下面的式子語法好像出不來囧，我再研究一下(糗~回復 22# hua0127 的帖子
從方程式編輯器把打好的公式，複製後，貼過來網頁。會出現 $ 的符號。最前面那個要改掉。 尾巴最後面那個 $也要改掉。
全部改成 \+( \+) +號拿掉，括號緊貼著斜線。
小括號是不置中。中括號是置中 請問..第4題和第8題該怎麼做呢?
麻煩大家了，謝謝!! 第 4 題
將21個相同的球全部放入3個不同的袋子，若每袋至少一球，且任二袋球數和大於第三袋球數，則球數的安排方案共有[u] [/u]種。
[解答]
(10，10，1)：3 種
(10，9，2)：6 種
(10，8，3)：6 種
(10，7，4)：6 種
(10，6，5)：6 種
(9，9，3)：3 種
(9，8，4)：6 種
(9，7，5)：6 種
(9，6，6)：3 種
(8，8，5)：3 種
(8，7，6)：6 種
(7，7，7)：1 種
計 55 種
回復 25# thepiano 的帖子
填4.將21個相同的球全部放入3個不同的袋子，若每袋至少一球，且任二袋球數和大於第三袋球數，則球數的安排方案共有[u] [/u]種。
[解答]
也可以用重覆組合做
\( H_{18}^{3}-C_{1}^{3}\cdot H_{8}^{3}=C_{18}^{20}-3\cdot C_{8}^{10}=55 \)
其中 \( H_{18}^3 \) 代表至少一個任意分，而 \( H_{21-11-1-1}^3 \) 代表某一個 \( \geq 11 \) 使另兩個相加少於多的這袋，不符合題意要求，需扣除 第8題
已知\(\Delta ABC\)的三邊長\(a,b,c\)和面積\(S\)滿足關係式\(S=a^2-(b-c)^2\)，且\(b+c=8\)，則\(\Delta ABC\)的面積\(S\)的最大值為[u] [/u]。
[解答]
代海龍公式:
$$ \sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}{16}}=a^2-(b-c)^2$$
接著左右平方, 化簡得:
$$
\begin{aligned}
&17a^2-17b^2-17c^2+30bc=0\\
\Rightarrow &\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}=\frac{15}{17}=\cos A\\
\Rightarrow &\sin A=\frac{8}{17}
\end{aligned}
$$
又, 由\(b+c=8\)及算幾不等式, 得\(bc\leq16\)
故
$$\triangle ABC = \frac{1}{2}bc\sin A \leq \frac{64}{17}$$
回復 26# tsusy 的帖子
可以考慮把題目轉換成求周長為21的三角形\(ABC\)邊長\(a,b,c\)有多少中排列數
回復 28# Sandy 的帖子
這樣有轉就不就等於沒轉，算的方法還是一模一樣請問填充1
請問填充1回復 30# loveray 的帖子
向量AD可換成1/3向量AC和2/3向量AB再利用內積的幾何性質計算
回復 9# uhepotim01 的帖子
計算第3題我是用反證法：假設\(f(x)=\cos (\sqrt[3]{x})\)為週期函數，則存在一個不為0的常數T使得
\(f\left( x+T \right)=f(x),\ \ \forall x\Rightarrow \cos \left( \sqrt[3]{x+T} \right)=\cos \left( \sqrt[3]{x} \right)\)
取\(x=0\)代入, 則存在\(k\in \mathbb{Z}\) 使得 \(\sqrt[3]{T}=2k\pi \),
取\(x=T\)代入，得\(\cos \left( \sqrt[3]{2T} \right)=\cos \left( \sqrt[3]{T} \right)=1\),
則存在\(m\in \mathbb{Z}\) 使得 \(\sqrt[3]{2T}=2m\pi \)
將兩式相除得到
\(\frac{\sqrt[3]{2T}}{\sqrt[3]{T}}=\frac{m}{k}=\sqrt[3]{2}\) (注意到\(m,k\ne 0\) )
為一有理數，得到矛盾，故f不為週期函數 [quote]原帖由 [i]hua0127[/i] 於 2014-5-8 09:54 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10336&ptid=1881][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算第3題我是用反證法：
假設\(f(x)=\cos (\sqrt[3]{x})\)為週期函數，則存在一個不為0的常數T使得
\(f\left( x+T \right)=f(x),\ \ \forall x\Rightarrow \cos \left( \sqrt[3]{x+T} \right)=\cos \left( \sqrt[3]{x} ... [/quote]
取\(x=T\)代入，得\(\cos \left( \sqrt[3]{2T} \right)=\cos \left( \sqrt[3]{T} \right)=1\), <<<這步為何會等於1
回復 33# shingjay176 的帖子
前面少了一個算式XD取\(x=0\)代入時會得到\(\cos \left( \sqrt[3]{T} \right)=\cos 0=1\)
回復 11# tsusy 的帖子
想請教第三行的三角形F2AB面積的等號是怎麼推出來的謝謝 想請教 計算2 的答案...是\(\displaystyle \frac{1}{3}<m<27 \)嗎?
回復 36# natureling 的帖子
計算 2. 沒算錯話，應該是 \(\displaystyle 3^{-\frac{1}{5}}<m\le27 \)\( m = 27 \) 的時候，該式不是 \( x \) 的二次，不能用判別式判斷 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2014-5-7 02:57 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10285&ptid=1881][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算1(2)，我的切入點在線性變換，先把橢圓變成圓 \( x^2 + y^2 =a^2 \)
新的弦以 \( \overline{A'B'} \) 表示之，假設其與 \( \overline{F_1F_2} \) 的夾角為 \( \theta \)
以 \( \theta \) 表示三角形面積可得 \( \tri ... [/quote]
請問寸絲老師
1.橢圓變成圓,焦點不是變成圓心了,如何跟F1F2相交夾角,還是跟原橢圓焦點相交 ?
2.您的第三行三角形面積=...根號(a^2-c^2sin^2角)sin角,如何來的 ?
3.第5,6行,可否麻煩老師,再詳述,壓扁後的面積
謝謝
回復 38# kittyyaya 的帖子
1. 我做的是線性變換，在這個操作下，才會有面積比的事，所以 \( (\pm c,0) \) 還是被對應到 \( (\pm c,0) \)只是這兩個點不是焦點而已，但這不重要，重要的是面積。
2. \( \frac12 底 \times 高 \)，以 \( \overline{A'B'} \) 為底，[color=Red]高是另一原焦點到此弦的距離[/color]
(05.13更正上行原錯誤，紅字處)
3. \( t \) 二次式配方求極值，壓扁也只是乘一個常數 \( \frac ba \) 請問計算1(2)
可以有圖輔助一下嗎，對以上的算式仍不是很懂...
謝謝