103大安高工
2.設\( 0 \le x \le 2 \pi \)，求\( tan^2x-9tanx+1=0 \)之各根總和為多少？
112.8.22補充
若\(0\le x \le 2\pi\)，則滿足\(tan^2 x-9tanx+1=0\)的所有\(x\)值之和為[u] [/u]。
(111高中數學能力競賽 第一區(花蓮高中)筆試二試題，[url]https://math.pro/db/thread-3782-1-1.html[/url])
Find the sum of the roots of \( tan^2x-9tanx+1=0 \) that are between \( x=0 \) and \( x=2 \pi \) radians.
(A)\( \displaystyle \frac{\pi}{2} \) (B)\( \pi \) (C)\( \displaystyle \frac{3\pi}{2} \) (D)\( 3\pi \) (E)\( 4\pi \)
(1989AHSME，[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1989_AHSME_Problems/Problem_28[/url]) 最後一題...
傻眼...
現在考教甄還要準備數學笑話,謎語~
說到這個小弟最擅長.
上課喜歡講543的
猜謎:
由雙曲線的圖形,猜一個台灣地名~
回復 3# Ellipse 的帖子
外雙溪？回復 4# smartdan 的帖子
十點才會到中壢，晚上也有去大安高工練筆，看到最後一題真的傻眼。明天有空，再把我寫這份考卷的解法想法貼上來。
回復 5# shingjay176 的帖子
最後一題教案，我舉 ax+by+c不等式圖解，正號區、負號區、線上(等於0)。每個點都會只在某一個區域而已。
正號區(陽間)、負號區(陰間)、等於0(不正也不負~~太平間)。
此時就扯到我有去過(觀落陰)，有成功進入陰間的故事了~~此時睡覺打哈哈的學生。全部瞪大眼睛聽我說故事~~(離題囉) [quote]原帖由 [i]smartdan[/i] 於 2014-5-5 10:22 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10249&ptid=1880][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
外雙溪？ [/quote]
外雙C
厲害~ 第一部分:第6題
和鋼琴兄討論的結果是題目出錯了
算不出來~
各位網友其他看法嗎?
回復 8# Ellipse 的帖子
請問第一部分的第一題和第二題怎麼寫呢??謝謝!回覆#8
參考看看。不知對不對103.5.21補充
重新打字後將附件刪除
6.
∵底數小於1
∴\( a^{2x}-(ab)^x-2b^{2x}+1<1 \)
\( (a^x-2b^x)(a^x+b^x)<0 \)
∴\( a^x-2b^x<0 \)
又\( b>a>0 \),∴\( 2b^x<a^x \)
同取log \( \Rightarrow log2+xlogb>xloga \) [quote]原帖由 [i]chin[/i] 於 2014-5-8 06:17 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10327&ptid=1880][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
參考看看。不知對不對 [/quote]
真數a^(2x)-(ab)^x-2b^(2x)+1>0
部分也要處理
回復 9# yuhui 的帖子
第二題前面板主有PO來源跟解答，可以參考一下補個第一題：
顯然零多項式為其中一種可能，
若不為零多項式的話，觀察代入\(f(-1)=f(0)=f(1)=0\),
令\(f(x)=a(x-1)x(x+1)Q(x)\), 其中\(a\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\), \(Q(x)\)為首項係數1的多項式
代回原式：
\(a(x-1)x(x+1)(x+2)Q(x+1)=a(x-1)x(x+1)(x+2)Q(x)\), 對兩邊多項式做除法得到
\(Q(x+1)=Q(x)\), 得到\(Q(x)=1\)
所以\(f(x)=a(x-1)x(x+1), a\in \mathbb{R}\)
(其實也可以由 \(\frac{f(x+1)}{f(x)}=\frac{x+2}{x-1}\) 觀察連消的特性看出 \(f(x)=a(x-1)x(x+1)\) )
回復 12# hua0127 的帖子
答案就寫f(x)=a(x−1)x(x+1),a屬於R 就可以了嗎??我就是找不到那個a值...才來問的!
還有第二題有人可以解解惑嗎??謝謝!!
回復 13# yuhui 的帖子
第一題的解若我沒有遺漏其他的細節部分，a(x-1)x(x+1) 這一類的解對於所有的a 代入都滿足題意，
所以我想是的
第二題的部分考慮如下：
先觀察原方程式解\(\tan \alpha ,tan\beta \)滿足
\[\tan \alpha +\tan \beta =9,\tan \alpha \tan \beta =1\], 看出\(\tan \alpha >0,\tan \beta >0\).
故可知道所有的解會落在區間\((0,\frac{\pi }{2})\)跟\((\pi ,\frac{3}{2}\pi )\)內，
先觀察根在\((0,\frac{\pi }{2})\)的情況
此時\(\tan \alpha \)唯一對應1個\(\alpha \), \(\tan \beta \)唯一對應1個\(\beta \)
由 \(\tan \alpha \tan \beta =1\) 可知道此時 \(\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}\)
由周期函數的特性知在\((\pi ,\frac{3}{2}\pi )\)的根為\(\pi +\alpha ,\pi +\beta \)
故所有的根之和為\(\alpha +\beta +(\pi +\alpha )+(\pi +\beta )=3\pi \)
希望能幫到你解惑 [quote]原帖由 [i]hua0127[/i] 於 2014-5-9 01:19 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10353&ptid=1880][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第一題的解若我沒有遺漏其他的細節部分，
a(x-1)x(x+1) 這一類的解對於所有的a 代入都滿足題意，
所以我想是的
第二題的部分考慮如下：
先觀察原方程式解\(\tan \alpha ,tan\beta \)滿足
\[\tan \alpha +\tan \beta =9,\t ... [/quote]
那天在考場我的答案這樣寫。
\[ \displaystyle \begin{array}{l}
\tan (\alpha + \beta ) = \frac{{\tan \alpha + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \frac{9}{{1 - 1}}\\
\Rightarrow \alpha + \beta = \frac{\pi }{2}\;\; \vee \;\alpha + \beta = \frac{{3\pi }}{2}
\end{array}\]
所以所有的根的和 \(\frac{\pi }{2} + \frac{{3\pi }}{2} = 2\pi \)，這樣思考不知道哪裡有誤?
看你的寫法很順，在看我的寫法就是有點怪~說不上的怪
我的答案就這樣少掉 \(\pi \)。
莫非我這個觀念思考有嚴重的瑕疵。
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-9 10:28 PM 編輯 [/i]] α + β = π/2 和 α + β = (3/2)π 要分開來看
當 α + β = π/2 時，hua0217 兄已說明
當 α + β = (3/2)π 時，會有一根大於 π(假設是 α)，另一根小於 π/2(假設是 β)
故四根為 α，β，α - π，β + π，其和為 3π 想請教7和9。感謝。
回復 17# natureling 的帖子
第七題我告訴你，這個學生錯誤的地方。會重複算。
第七題正確解法
提示:取捨定理
[color=Red](全部)\(-\)(甲得0支或乙得0支或丙得0支)[/color]
這個錯誤解法，還真的是學生經常會發生的情況。我上課都會特別提醒，越是提醒，反而越有同學算錯
至於第九題，考場上我放掉。我還未訂正這份考卷。留給版面其他老師給你指點。
\[1 \times H_5^3H_4^3 - 3H_5^2H_4^2 + 3H_5^1H_4^1 - 1H_5^0H_4^0\]
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-11 03:47 PM 編輯 [/i]] 嗯..感恩..所以正解是
H(3,5)H(3,4)-C(3,1)H(2,5)H(2,4)+C(3,2) ?
[quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2014-5-11 03:22 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10395&ptid=1880][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第七題我告訴你，這個學生錯誤的地方。
會重複算。
第七題正確解法
提示:取捨定理
(全部)\(-\)(甲得0支或乙得0支或丙得0支) [/quote]
回復 19# natureling 的帖子
是的頁:
[1]
2