另外第七題我是用柯西去解，不知道有沒有更容易的 問錯了，是第六題………… 第 6 題
分別找 A 和 B 在平面 E 上的投影點 C 和 D
則 P 為 CD 中點時，PA^2 + PB^2 有最小值
回復 22# acc10033 的帖子
填6. 樓上 thepiano 大的方法，算是使用中線定理的結果這類的題目，考古題裡也出現了不少
100中科實中：P 為球面 \( S:\,(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+z^{2}=4 \) 上的動點，\( A(3,4,0)、B(3,3,2) \) 為球面外兩點，求 \( \overline{PA}^{2}+\overline{PB}^{2} \) 的最大值。
100南港高工：設 \( A(-2,1,3),\, B(0,3,-3) \)，P 為直線 \( L:\,\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1} \) 上一點，求 \( \overline{AP}^{2}+\overline{BP}^{2} \) 有最小值時，此時 P 點的坐標為 _____ 。
100彰化藝術暨田中高中：空間中有三個點 \( A(-1,2,5), B(-2,1,2), P(0,b,c) \)，則 \( \overline{PA}^{2}+\overline{PB}^{2} \) 的最小值為 _____。
100文華高中代理：設 \( A(4,3,2), B(2,1,4) \)，點 P 在平面 \( E:\, x-2y-2z=-1 \) 上移動，則 \( \overline{PA}^{2}+\overline{PB}^{2} \) 的最小值為 _____ 。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-25 09:20 AM 編輯 [/i]]
回復 20# GGQ 的帖子
類似題是否可提供一下呢?^^"感謝回復 21# acc10033 的帖子
填充題第十一題我的第一個想法，第二步驟，用帶數字猜答案。我帶K=0(做猜答案的動作)，
最後參數式\(t\)的範圍要註明。t是任意整數，但不能等於0，因為等於0。
P點的軌跡就剛好跟A點重合。這樣就不能構成三角形ABP
和寸絲老師，在討論這個題目。他有提到另外一個想法。嚴謹度更高。
提示：三垂線定理
容我偷懶，放圖片。
第一題
先把數字分兩類 \(A = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\)，\(B = \left\{ {6,7,8,9} \right\}\)
\(P = \frac{{C_1^5C_2^4 + C_3^4}}{{C_3^9}} = \frac{{17}}{{42}}\) 第一類選一個且第二類選二個 + 第二類選三個
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-26 03:20 PM 編輯 [/i]]
回復 25# natureling 的帖子
考古題 瑋岳大大有解似題目(100年中壢 第6題) 供練習 謝謝[url]https://math.pro/db/thread-1119-2-2.html[/url]
還有 100香山 填充13
[url]https://math.pro/db/thread-1186-3-7.html[/url]
[[i] 本帖最後由 GGQ 於 2014-5-7 07:15 AM 編輯 [/i]]
回復 26# shingjay176 的帖子
第七題 解不等式\(\left( {{{103}^{2 - x}} - 103} \right)\left( {{4^x} - 9 \times {2^{x - 1}} + 2} \right) \ge 0\)得____\[\begin{array}{l}
\left( {{{103}^{2 - x}} - 103} \right)\left( {{4^x} - 9 \times {2^{x - 1}} + 2} \right) \ge 0\\
\left( 1 \right)\;\;{103^{2 - x}} - 103 \ge 0\; \wedge \;\;\left( {{{\left( {{2^x}} \right)}^2} - \frac{9}{2} \times {2^x} + 2} \right) \ge 0\\
(2)\;\;{103^{2 - x}} - 103 \le 0\; \wedge \;\left( {{{\left( {{2^x}} \right)}^2} - \frac{9}{2} \times {2^x} + 2} \right) \le 0
\end{array}\]
上面兩種狀況取聯集，就可以找到最後的答案。
回復 28# shingjay176 的帖子
第九題 求 \(\sqrt[5]{{103 - x}} + \sqrt[5]{{x - 21}} = 2\) 的所有實數解為令 \(A = \sqrt[5]{{103 - x}}\;\;\;B = \sqrt[5]{{x - 21}}\)，\({A^5} + {B^5} = 82\)
\[\begin{array}{l}
{2^5} = {\left( {A + B} \right)^5}\\
\;\;\;\; = {A^5} + 5{A^4}B + 10{A^3}{B^2} + 10{A^2}{B^3} + 5A{B^4} + {B^5}\\
\;\;\;\; = \left( {{A^5} + {B^5}} \right) + 5AB\left( {{A^3} + {B^3}} \right) + 10\left( {A + B} \right)\\
\;\;\;\; = 82\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + 5AB\left\{ {{{\left( {A + B} \right)}^3} - 3AB\left( {A + B} \right)} \right\} + 10{\left( {AB} \right)^2} \times 2\\
\;\;\;\; = 82 + 5AB\left\{ {{2^3} - 3AB\left( 2 \right)} \right\} + 20{\left( {AB} \right)^2}\\
\Rightarrow {\left( {AB} \right)^2} - 4\left( {AB} \right) - 5 = 0\\
\;\;\;AB = - 1\;\; \vee \;\;AB = 5
\end{array}\]
(1)
\(\begin{array}{l}
\sqrt[5]{{\left( {103 - x} \right)}}\sqrt[5]{{\left( {x - 21} \right)}} = 5\\
\sqrt[5]{{ - {x^2} + 124x - 2163}} = 5\\
- {x^2} + 124x - 2163 = 3125\\
{x^2} - 124x + 5288 = 0\\
{x^2} - 2\left( {62} \right)\left( x \right) + {62^2} = - 5288 + 3844
\end{array}\)
無實數解
(2)
\(\begin{array}{l}
\sqrt[5]{{\left( {103 - x} \right)}}\sqrt[5]{{\left( {x - 21} \right)}} = - 1\\
\sqrt[5]{{ - {x^2} + 124x - 2163}} = - 1\\
- {x^2} + 124x - 2163 = - 1\\
{x^2} - 124x + 2162 = 0\\
{x^2} - 2\left( {62} \right)\left( x \right) + {62^2} = - 2162 + 3844\\
{x^2} - 2\left( {62} \right)\left( x \right) + {62^2} = 1682\\
x = 62 \pm \sqrt {1682} = 62 \pm 29\sqrt 2
\end{array}\)
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-7 05:11 PM 編輯 [/i]] 想請問計算那兩題偵錯題該怎麼下手呢?
回復 30# shmilypon 的帖子
哪裡有題目可以下載計算題 [quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2014-5-7 08:57 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10300&ptid=1879][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]哪裡有題目可以下載計算題 [/quote]
在10樓~
回復 30# shmilypon 的帖子
計算題第一題，等等幫你貼上解答。計算題第一題
若 \(C_0^{103} + C_3^{103} + C_6^{103} + \cdots + C_{102}^{103}=\frac{{{b^c} + d}}{a}\)，且\(a,b,c,d\)，為兩兩互質的正整數，求有序數組\((a,b,c,d)=?\)
(1) 考慮 \({x^3} - 1 = 0\)方程式下手，
\(\begin{array}{l}
\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0\\
\Rightarrow x = 1\; \vee \;{x^2} + x + 1 = 0\\
\Rightarrow w = \frac{{ - 1 + \sqrt 3 i}}{2},{w^2} = \frac{{ - 1 - \sqrt 3 i}}{2},{w^3} = 1\\
\;\;\;\;\;{w^2} + w + 1 = 0
\end{array}\)
(2)
\[\begin{array}{l}
{\left( {1 + x} \right)^{103}}\;\;\;\; = C_0^{103}{x^0} + C_1^{103}{x^1} + C_2^{103}{x^2} + C_3^{103}{x^3} + C_4^{103}{x^4} + C_5^{103}{x^5} + \cdots + C_{103}^{103}{x^{103}}\\
{\left( {1 + w} \right)^{103}}\;\;\; = C_0^{103}1 + C_1^{103}{w^1} + C_2^{103}{w^2} + C_3^{103}{w^3} + C_4^{103}{w^4} + C_5^{103}{w^5} + \cdots + C_{103}^{103}{w^{103}}\\
{\left( {1 + {w^2}} \right)^{103}} = C_0^{103}1 + C_1^{103}{w^2} + C_2^{103}{w^4} + C_3^{103}{w^6} + C_4^{103}{w^8} + C_5^{103}{w^{10}} + \cdots + C_{103}^{103}{w^{206}}\\
{\left( {1 + 1} \right)^{103}}\;\;\;\; = C_0^{103}1 + C_1^{103}{1^1} + \;\;\;C_2^{103}{1^2} + C_3^{103}{1^3} + C_4^{103}{1^4}{\rm{ }} + C_5^{103}{1^5}{\rm{ }} + \cdots {\rm{ }} + C_{103}^{103}{1^{103}}\\
\\
{\left( {1 + w} \right)^{103}}\;{\rm{ + }}{\left( {1 + {w^{\rm{2}}}} \right)^{103}}{\rm{ + }}{\left( {1 + {\rm{1}}} \right)^{103}}\;\\
{\rm{ = 3}}\left( {C_0^{103}1} \right){\rm{ + }}\left( {C_1^{103}{w^1}{\rm{ + }}C_1^{103}{w^{\rm{2}}}{\rm{ + }}C_1^{103}{\rm{1}}} \right){\rm{ + }}\left( {C_2^{103}{w^2}{\rm{ + }}C_2^{103}{w^{\rm{4}}}{\rm{ + }}C_2^{103}{{\rm{1}}^{\rm{2}}}} \right)\\
{\rm{ + 3}}\left( {C_{\rm{3}}^{103}1} \right){\rm{ + }}......{\rm{ + }}.......{\rm{ + }}...........{\rm{ + }}........{\rm{ + }}.....................................{\rm{ + }}\\
\;\;\;\;\;\;\; \vdots {\rm{ }}\\
{\rm{ + 3}}\left( {{\rm{C}}_{{\rm{102}}}^{{\rm{103}}}} \right){\rm{ + }}\left( {C_{103}^{103}{w^{103}}{\rm{ + }}C_{103}^{103}{w^{{\rm{206}}}}{\rm{ + }}C_{103}^{103}{\rm{1}}} \right)\\
{\rm{ = 3}}\left( {C_0^{103}1{\rm{ + }}C_{\rm{3}}^{103}1{\rm{ + }} \cdots C_{{\rm{1}}0{\rm{2}}}^{103}1} \right)\\
\\
{\left( {1 + w} \right)^{103}}\;{\rm{ + }}{\left( {1 + {w^{\rm{2}}}} \right)^{103}}{\rm{ + }}{\left( {1 + {\rm{1}}} \right)^{103}}{\rm{ = }}{\left( { - {w^2}} \right)^{103}} + {\left( { - w} \right)^{103}} + {2^{103}} = - {w^2} - w + {2^{103}} = 1 + {2^{103}}\\
\\
C_0^{103}1{\rm{ + }}C_{\rm{3}}^{103}1{\rm{ + }} \cdots C_{{\rm{1}}0{\rm{2}}}^{103}1 = \frac{{1 + {2^{103}}}}{3}
\end{array}\]
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-7 10:47 PM 編輯 [/i]]
回復 33# shingjay176 的帖子
感謝您^^方便請教計算的偵錯題嗎@@?
想了許久不知從何下手
回復 34# shmilypon 的帖子
偵錯題第二題問題：求 \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{n}} \times \frac{1}{{{k^2}}}\)=?
錯解：作區間\(\left[ {0,1} \right]\)的\(n\)等分分割，則\(\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{n}} \times \frac{1}{{{k^2}}} = \int_0^1 {\frac{1}{{{x^2}}}dx = \left( {\frac{{ - 1}}{x}} \right)} \left| {_0^1} \right.\) 故極限不存在
解答
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{n}} \times \frac{1}{{{k^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{k^2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\{ {\frac{1}{n} \times \left( {\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} \right\}\)
(1) 證明 \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \frac{{{\pi ^2}}}{6}\)
令 \(f\left( x \right)=\sin x\)求 \(\sin x\) 在 \(x=0\) 的泰勒展開式
\(f\left( x \right)=f\left( 0 \right)+\frac{{f}'\left( 0 \right)}{1!}x+\frac{{f}''\left( 0 \right)}{2!}{{x}^{2}}+\frac{{f}'''\left( 0 \right)}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}\left( \delta \right)}{n!}{{x}^{n}}\ \ \ \delta \in \left( -\varepsilon ,\varepsilon \right)\)
\(\begin{align}
& f\left( 0 \right)=\sin 0=0\ ,\ {f}'\left( x \right)\ =\cos x\ ,\ {f}'\left( 0 \right)=\cos 0=1\ ,\ {f}''\left( x \right)=\sin x \\
& {f}''\left( 0 \right)=0\ ,\ {f}'''\left( x \right)=-\cos x\ ,\ {f}'''\left( 0 \right)=-1\ ,\ {{f}^{(4)}}\left( x \right)=\sin x\ ,\ {{f}^{(4)}}\left( 0 \right)=0 \\
& {{f}^{(5)}}\left( x \right)=\cos x\ ,\ {{f}^{(5)}}\left( 0 \right)=1\ ,\ \cdots \\
\end{align}\)
(2)
\(\begin{align}
& \sin x=\left\{ \frac{x}{1!}-\frac{{{x}^{3}}}{3!}+\frac{{{x}^{5}}}{5!}-\frac{{{x}^{7}}}{7!}+\frac{{{x}^{9}}}{9!}-\frac{{{x}^{11}}}{11!}+\cdots \right\} \\
& \frac{\sin x}{x}=1-\frac{{{x}^{2}}}{3!}+\frac{{{x}^{4}}}{5!}-\frac{{{x}^{6}}}{7!}+\frac{{{x}^{8}}}{9!}-\frac{{{x}^{10}}}{11!}+\cdots \ \ \ \ \ \ \ \ x\ne 0 \\
\end{align}\)
(3) 當 \(\frac{\sin x}{x}=0\) 方程式的根，顯然是\( \pm \pi , \pm 2\pi , \pm 3\pi , \pm 4\pi , \cdots \;\;\;\;\;\left( {x \ne 0} \right)\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \;1 - \frac{{{x^2}}}{{3!}} + \frac{{{x^4}}}{{5!}} - \frac{{{x^6}}}{{7!}} + \frac{{{x^8}}}{{9!}} - \frac{{{x^{10}}}}{{11!}} + \cdots \\
\;\; = \left( {1 - \frac{x}{\pi }} \right) \times \left( {1 + \frac{x}{\pi }} \right) \times \left( {1 - \frac{x}{{2\pi }}} \right) \times \left( {1 + \frac{x}{{2\pi }}} \right) \times \left( {1 - \frac{x}{{3\pi }}} \right) \times \left( {1 + \frac{x}{{3\pi }}} \right) \times \cdots \\
\;\; = \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{\pi ^2}}}} \right) \times \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{2^2}{\pi ^2}}}} \right) \times \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{{3^2}{\pi ^2}}}} \right) \times \cdots
\end{array}\)
考慮\({{x}^{2}}\) 項的係數
\(\begin{align}
& \frac{-1}{{{\pi }^{2}}}-\frac{1}{{{2}^{2}}{{\pi }^{2}}}-\frac{1}{{{3}^{2}}{{\pi }^{2}}}-\cdots \cdots =\frac{-1}{3!} \\
& \Rightarrow \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots \cdots =\frac{{{\pi }^{2}}}{6} \\
\end{align}\)
得證
(4)
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{n}}\times \frac{1}{{{k}^{2}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left\{ \frac{1}{n}\times \left( \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \right) \right\}\)
且 \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\) 與\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)\) 極限值皆存在
\(\begin{align}
& \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{n}}\times \frac{1}{{{k}^{2}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left\{ \frac{1}{n}\times \left( \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \right) \right\} \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}\times \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{1}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{n}^{2}}} \right)=0\times \frac{{{\pi }^{2}}}{6} \\
\end{align}\) 收斂到 \(0\)
學生錯誤的原因，\(\frac{1}{n}\) 很容易聯想到黎曼和 \(\left[ 0,1 \right]\) 區間做分割。
\(\Delta x=\frac{1-0}{n}\) ，分割點 \(\left\{ 0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\frac{4}{n},\cdots ,\frac{n}{n} \right\}\)
黎曼和的高是 \(f\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}}\ ,\ f\left( \frac{1}{n} \right)={{n}^{2}}\ ,\ f\left( \frac{2}{n} \right)=\frac{{{n}^{2}}}{4}\ ,\cdots \)
黎曼和寫出來的式子是 \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{n}}f\left( \frac{i}{n} \right)\) 。這個題目是 \(\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{k}^{2}}}}\) P級數求和
學生把這個題目當成黎曼和分割處理。底的部分 1/n, 是可以的。。
錯誤地方在黎曼和的高是用分割點代入。所以黎曼和寫出來的式子。不是這個題目要求的答案。
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-10 10:00 AM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]Sandy[/i] 於 2014-5-5 07:19 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10241&ptid=1879][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
可以問證明嗎？ [/quote]
第十題 證明如下圖檔
回復 36# shingjay176 的帖子
偵錯題第一題錯誤的地方出在，當等號成立時候，\(\sin x = \frac{4}{{\sin x}} \Rightarrow \sin x = \pm 2\)
等號根本不可能成立。
\[\begin{array}{l}
\;\;\;\;f\left( x \right) = \sin x + \frac{4}{{\sin x}}\\
\Rightarrow f'\left( x \right) = \cos x + \frac{{ - 4\cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{{\cos x{{\sin }^2}x - 4\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\
\Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \cos x{\sin ^2}x - 4\cos x = 0 \Rightarrow \cos x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = 4\cos x\\
\Rightarrow \cos x\left( {{{\cos }^2}x + 3} \right) = 0 \Rightarrow \cos x = 0
\end{array}\]
一階導函數判別遞增遞減，會發現在 \(\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\) 有最小值產生
\[\sin x + \frac{4}{{\sin x}} \Rightarrow \min \;\;5\]
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-8 08:24 PM 編輯 [/i]]
回復 37# shingjay176 的帖子
偵錯1. 來個為了不想微分而算幾的技巧性算幾\( \sin x+\frac{1}{\sin x}\geq2\sqrt{\sin x\cdot\frac{1}{\sin x}}=2 \)
\( \frac{3}{\sin x}\geq3 \)
兩式相加得 \( \sin x+\frac{4}{\sin x}\geq5 \)，且等號成立的條件皆為 \( x=\frac{\pi}{2} \)。 [quote]原帖由 [i]GGQ[/i] 於 2014-5-6 04:20 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10272&ptid=1879][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
抱歉,我其實有偷懶寫
正確應該是 H(5,5)-H(5,3)-H(5,2)-H(5,1)-H(5,0)+H(5,0) 因為後兩項消除,我就沒寫出來了
B+C+D+E+F=5 的非負整數解 B [/quote]
這樣思考，每一組組合數。會一對一對應一種排列的情形嗎？
例如\((A,B,C,D,E,F)=(0,0,2,1,2,0)\)，會不會有兩種排列情形，對應這一種組合數
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-8 09:55 PM 編輯 [/i]] 想請教此題可否用夾擠定理呢?感恩。只是這樣算 1/1^2+1/2^2+...的極限值用夾擠定理就會出錯@@
所以還是問一下,...感恩
1/1^2+1/2^2+...+1/^2 >1/1^2+/2*3 +1/3*4+...+1/n(n+1)=(3n+1)/(2n+1)
1/1^2+1/2^2+...+1/^2 <1/1^2+1/1*2+1/2*3+....+1/(n-1)n=(2n-1)/n
則
(3n+1 )/ (2n^2+2n) < 1/n *sigma 1/k^2 <(2n-1)/n^
n-->無限大時,由夾擠定理,值=0
[quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2014-5-8 11:50 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10320&ptid=1879][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
偵錯題第二題＿
問題：求 \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{n}} \times \frac{1}{{{k^2}}}\)=?
錯解：作區間\(\left[ {0,1} \right]\)的\(n\)等分分割，則\(\sum\limits_{k = 1}^ ... [/quote]