回復 54# Ellipse 的帖子
我記得的公式是：(推導方式如之前興傑兄所提到若 \(X\sim B\left( n,p \right)\), 假設最高點產生在\(x=k\)的位置，則
\[\left( n+1 \right)p-1\le k\le \left( n+1 \right)p\]
,故當 \(\left( n+1 \right)p\)為整數時，最高點有兩個產生在\(k=\left( n+1 \right)p-1\) 以及 \(k=\left( n+1 \right)p\)
跟橢圓老師的公式有異曲同工之妙
回復 62# shingjay176 的帖子
\( f(x+1) = f(x) \Rightarrow g(x+1) = g(x) \)所以 \( g(x) \) 也是週期函數且 1 為其週期，故 \( \int_0^1 g(x) dx = \int_0^1 g(x+\frac12) dx \)
回復 62# tsusy 的帖子
感謝寸絲的解答。。我知道下面紅色箭頭部分的解釋了。 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2014-4-28 10:02 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10096&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算 8.
1. 題意中，並無任何地方指出 \( f(x) \) 是一個多項式。
2. 題幹不完整，缺少函數 \( f \) 的定義域及對應域，且敘述有瑕疵
個人傾向解讀為：\( f(f(x)+f(y)) = x+y \), for all \( x, y \in \mathbb{N} \)。
... [/quote]
寸絲
請問一下喔，關於十八樓，松山高中計算題第八題做法。
應該就是設法找出函數\(f\)的長相，這中間可能包含了週期性，因為之前做過類似的題目，用週期性去倒推算\(f(2014)\)
所以這個題目，也盡可能去找出函數\(f\)的規則， 這個題目是\(f:N \to N\)
[color=DarkRed]所以你一開始推測最小正整數 \(N=1\)，\(f(1)=k\)，\(k\)是正整數。這部分可以理解。[/color]
之後就開始循環帶入，依照題目給定的規則。就會發現你寫出的結論。
[color=Red]如此重覆(或數學歸納法)可得 \( f(p)=pk \) 且 \( f(qk)=q \), for \( p=1,4,7,10,\ldots \) 和 \( q=2,5,8,\ldots \)。[/color]
接下來如我紅色框框的部分，這部分在做甚麼？如何思考?
思考更妙的是，怎麼會想到引進 同餘 的理論。
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-12 07:56 PM 編輯 [/i]]
回復 64# shingjay176 的帖子
那邊只是一些[color=Red]不重要繁鎖[/color]的細節，重點在一開始，到底想做什麼？[b][color=Red]解出 \( k \)，如何解 \( k \)[/color][/b]，一開始很有規律的發現 \( f(1) = k, f(4) = 4k, f(7) =7k, \ldots \)
是不是可以利用那些關係式，使用不同順序組合，再組合出一次，[color=Red][b]像是 \( f(31) \) 的值[/b][/color]
這麼一來對於 \( f(31) \) 我們就有[b][color=Red]兩個值必須相等，而解出 \( k \)[/color][/b]。
整個主要的想法就只有上面，剩下來對當時的我來說，就是 [b][color=Red]Try and Error[/color][/b]
Try 幾次之後，發現不順，我就乾脆更狠心一點，不要一次代兩個數進關係式，[color=Red][b]一次帶無限多個數[/b][/color]
原本的是 \( p,p \) 型代入得 \( qk \) 型的結果，\( qk,qk \) 型代入得 \( p \) 型結果，
所以接下來我就只剩一條路 \( p,qk \) 型代入，而得到 \( pk+q \) 型的值，如此重覆下去，相信一定會出現某些型的數列會有交集，也就是說紅框處，只是這種[b][color=Red]任意代的其中一種代法[/color][/b]而已。
但實際上代到 \( f(pk+q) = p +qk \) 的結果，就可以解方程式了
一個整數被寫成 \( pk + q \) 的型式是不唯一的，由兩種以上不同的表示式，就可以確定 \( k \) 的值。
\( f((p+3)k+q) = f( pk + (q+3k)) \) 便可解出 \( k = \pm 1 \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-22 02:03 PM 編輯 [/i]]
回復 65# tsusy 的帖子
寸絲老師，謝謝囉。我來好好仔細消化理解你的整個絲路過程。
寸絲老師思考路線的過程~~絲路 [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-5-1 07:42 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10178&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算第 4 題
xy + yz + zx = [(x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2)]/2 = -3
xyz = [(x^3 + y^3 + z^3) - (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)]/3 = -8
(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2 = (xy + yz + zx)^2 - 2xy ... [/quote]
另解:前面仿鋼琴兄做法先算出xy+yz+zx=-3, xyz=-8
設x,y,z為f(t)=t^3-2t^2-3t+8=0的三解
所以x^3+1=2x^2+3x-7 ,y^3+1=2y^2+3y-7 , z^3+1=2z^2+3z-7
又2t^2+3t-7=0其解為p=(-3+√65)/4 ,q=(-3-√65)/4
所求=(2x^2+3x-7)(2y^2+3y-7)(2z^2+3z-7)=8(x-p)(y-p)(z-p)(x-q)(y-q)(z-q)------------(*)
又f(p)=(p-x)(p-y)(p-z)=23p/4 -17/4 ; f(q)=(q-x)(q-y)(q-z)=23q/4 -17/4 (由綜合除法得) 代入(*)
所求=8*(-61)=-488 (後面-61的化簡可用平方差效果)
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-18 07:12 PM 編輯 [/i]]
計算 第2
之前有老師說計算第二
log(sin1*sin2*....*sin89)) 在數學101 裡面有
我都找不到....懇求頁數為何....感恩
順便再請問計算第5 這一題是不是p點應該在ABCD的內部才對.....
計算第八 之前有老師解出來 真的非常漂亮...有很多地方真的是神來之筆
但是我有一個疑問...如果f(x)=x的話 那為什麼題目要限制自變數和應變數都為自然數
最大必要條件應該不是限制在任何實數....甚至是任何複數....在這個條件下 不影響答案....
當然題目要給哪些條件是看出題老師...但是以往各位老師在出題目時不是都會思考這一點嗎....
而之前老師的解法 把自變數和應變數都為自然數的這個條件發揮的淋淋盡致
小弟的認知是那位老師的解法是唯一解法...但是前提必須為自然數
所以題目才給自然數.....才疏學淺....請各位老師指正......
回復 68# kyrandia 的帖子
[b]計算 2[/b]. 你打錯題目了，松山高中這題，只有奇數的度是是求 \( \log_2 ( \sin1^\circ \sin3^\circ \sin5^\circ \cdots \sin 89^\circ ) \)
在 新高中數學101(修訂版) 42.三角(九) 和角公式與倍角公式 p147 例題 4
至於不小心打錯的題目，也有類似題 46 複數之方根與幾何意義 p161 例題 3
[b]而計算 8[/b]. 定義域、對應域的問題在 #18 處，我的回文第 2 點，有討論到，在定義域和對應域都是實數系的情況下，滿足該條件的函數會不唯一，使得 \( f(2014) \) 的值有不只一種可能(實際上是無限多種可能) 感謝寸絲老師的回覆，原來是在修訂版，看來得再去找這一本書
另外計算第一題我的做法如下，但是跟老師的答案有出入，請老師指正
做橢圓，令焦點為a,b 過b做焦弦交橢圓於c,d
分別做過c,d兩點的切線為m,n
再分別以m,n為對稱軸做a的對稱點e,f
由光線性質可知e,c,d,f共線
再令三角形acd的內心為i,則不難發現三角形idc和三角形afe相似
我的想法是這樣，因為三角形acd的周長固定，所以要面積最大等同於內切圓半徑越大，
也就是需i點到線段cd的距離越大越好
又因為三角形idc相似於三角形afe,所以等同於a點到線段ef的距離越大越好(屬於連續型變化)
因此可知當cd為正焦弦時即為所求
不好意思，手機發文在加上不會上傳附加檔案，希望各位看的懂 感恩
回復 70# kyrandia 的帖子
我手邊並沒有舊版，不知道舊本有沒有。因此除了頁碼外，也附上了單元名稱回復 70# kyrandia 的帖子
[quote]原帖由 [i]kyrandia[/i] 於 2014-8-26 07:05 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11918&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]...
又因為三角形idc相似於三角形afe,所以等同於a點到線段ef的距離越大越好(屬於連續型變化)
因此可知當cd為正焦弦時即為所求
不好意思，手機發文在加上不會上傳附加檔案，希望各位看的懂 感恩[/quote]
到相似形為止的論證都沒什麼問題，但兩三角形的比例[b][color=Red]不是常數[/color][/b]，
所以 a 到 ef 有最大值時， i 到 cd 不一定是最大值！！ 感謝 我想通了..... [quote]原帖由 [i]kyrandia[/i] 於 2014-8-26 07:05 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11918&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
原來是在修訂版，看來得再去找這一本書[/quote]
舊版的這題在 P146