回復 32# thepiano 的帖子
謝謝! [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2014-5-1 09:36 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10192&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]應該還是要證一下~
Σ {x=1 to ∞ } 1/x
跟Σ {x=1 to ∞ } 1/x²
也很像阿,但後面收斂到π²/6 [/quote]
\[\begin{array}{l}
\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{k} = 1 + \left( {\frac{1}{2}} \right)} + \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}} \right) + \frac{1}{9} + \cdots \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\; \ge 1 + \left( {\frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}} \right)\; + \frac{1}{{16}}\; + \cdots \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 1 + \frac{1}{2}\; + \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}\; + \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}\; + \frac{1}{2}\; + \cdots \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \;1 + \frac{1}{2}\; \times \infty = \infty \;\;
\end{array}\] 想請教動點P那題...為什麼區域長這樣??要如何思考呢?感謝
回復 34# Ellipse 的帖子
謝謝Ellipse老師~ [quote]原帖由 [i]idontnow90[/i] 於 2014-5-1 10:35 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10200&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]想請教動點P那題...為什麼區域長這樣??要如何思考呢?感謝 [/quote]
計算題第五題怪怪的喔，\(p\)點應該是在正方形ABCD的內部。
以邊長1為半徑。四個頂點為圓心。分別畫出四個圓來觀察
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-1 11:07 PM 編輯 [/i]] 計算第七題
證明:
積分(1/2 -->1) [f(x)/f(x+1/2)]dx
=積分(1/2 -->1) [f(x)/f(x-1/2)]dx
(令t=x-1/2)
=積分( 0 -->1/2) [f(t+1/2)/f(t)]dt
=積分( 0 -->1/2) [f(x+1/2)/f(x)]dx
因此
積分(0 -->1) [f(x)/f(x+1/2)]dx
=積分(0 -->1/2) [f(x)/f(x+1/2)]dx + 積分(1/2 -->1) [f(x)/f(x+1/2)]dx
=積分(0 -->1/2) [f(x)/f(x+1/2)]dx + 積分( 0 -->1/2) [f(x+1/2)/f(x)]dx
=積分(0 -->1/2) [f(x)/f(x+1/2)+f(x+1/2)/f(x)]dx
由算幾不等式
>=積分(0 -->1/2) [2]dx
=1，得證。 計算第八題:
證明在正整數的定義域以及對應域之下，f(x)必為x。
證明:
反覆運用規則 f [ f(x)+f(y) ] = x+y
f(x+y+z+u)
=f { f [(f(x)+f(y)] + f [(f(z)+f(u)] }
=f(x)+f(y)+f(z)+f(u)
因此
f(4)=f(1+1+1+1)=f(1)+f(1)+f(1)+f(1)=4×f(1) .......第一式
f(4+a+b)=f(3+1+a+b)=f(3)+f(1)+f(a)+f(b) 又 f(4+a+b)=f(2+2+a+b)=f(2)+f(2)+f(a)+f(b)
對照得 f(3)+f(1)=2×f(2) .......第二式
f(5+a+b)=f(3+2+a+b)=f(3)+f(2)+f(a)+f(b) 又 f(5+a+b)=f(4+1+a+b)=f(4)+f(1)+f(a)+f(b)=[u]4×f(1)[/u]+f(1)+f(a)+f(b) (由第一式)
對照得 f(3)+f(2)=5×f(1) .......第三式
由二、三兩式得 f(2)=2×f(1)，f(3)=3×f(1)，
由數學歸納法可證得 f(n)=n×f(1) 對所有正整數n皆成立。 ......結論1
令 f(1)=t，
將x=1，y=1 代入f [ f(x)+f(y) ] = x+y 之中，
得f [ f(1)+f(1) ] = 1+1 ， f(2t)=2，
又由結論1，f(2t)=2t×f(1)=2t^2，
因此2t^2=2，得t^2=1，t=1。
故f(n)=n 對所有正整數n皆成立。
[[i] 本帖最後由 linteacher 於 2014-5-2 01:28 AM 編輯 [/i]]
回復 15# thepiano 的帖子
鋼琴老師，你的這個想法，我也有想到。靠著化簡過後，置換到題目要求的式子。在用三角函數的二倍角公式。我剛剛在腦力激盪，想了另外一個方法。從圖形下手。最近都在忙著做教師甄選題目。就直接照相貼圖檔上來了。
我剛剛才看到橢圓老師已經貼過圖解的解法了。
\( \displaystyle \frac{z-5}{z}=\frac{3}{2}(cos84^o+isin84^o) \)
∴\( |\; z-5 |\;=|\; z |\;=3:2 \)
由此可知紅色線為角平分線
因\( |\; z-5 |\;=|\; z |\;=|\; (z-5)-(z-2) |\; : |\; (z-2)-z |\;=3:2 \)
∴\( \displaystyle \frac{z-2}{z} \)的主幅角\( \displaystyle \theta_1=\frac{84^o}{2}=42^o \)
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-10 12:31 PM 編輯 [/i]]
回復 48# shingjay176 的帖子
第二題，這題的設計和[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1144&page=2#pid4532]100桃園高中[/url]相同。100桃園高中：設 \( z \) 為複數，若 \( \frac{z-3}{z}=2(\cos80^{\circ}+i\sin80^{\circ}) \)，則複數 \( \frac{z-1}{z} \) 之主輻角為 __________。 [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-4-29 11:20 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10119&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充 3
這題的類似題，去年竹北高中代理就考過了
此題相當於把 1~12 這 12 個自然數不重複填入一個二列六行(共 12 格)的表格中
且同一列中，右比左大；同一行中，上比下大，問有幾種填法？
轉化成一個 6 * 6 的表格，A 在左下角，B ... [/quote]
thepiano 老師，你這個想法很棒。沒有做過的人，一定不可能馬上在考場想到這個方法。
技巧性太高了。所以考古題一定要熟練。
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-10 12:01 PM 編輯 [/i]]
回復 50# shingjay176 的帖子
剛剛做這份考題，看到填充題第四題，有種好熟悉的感覺。原來是前年考上教師甄選那年，隨身筆記本，把不會的題目都寫下來。
我印象中這題目是出自於舊版的高中數學101。
紅筆那個部分，就是我覺得這個題目的思考關鍵。
[color=Red]紅色那個部分為何最關鍵，\(f(k - 1) \le f(k)\;,\;f(k) \ge f(k + 1)\)，只要你寫出幾組組合數，
例如 1,2,1 1,3,3,1 1,4,6,4,1....你就會發現當中間附近那個會最大[/color]
例：投擲一粒公正骰子50次，1點出現次數為r次的機率為\( P_r \)，當\( P_r \)為最大值，則其r之值為？
\( \displaystyle P_r=C_{r}^{50}(\; \frac{1}{6} )\;^6 (\; \frac{5}{6} )\;^{50-r}=\frac{C_r^{50}5^{50-r}}{6^{50}} \)
只需求\( f(r)=C_r^{50}5^{50-r} \)的最大值即可。
①\( f(r+1)\le f(r) \)
⇒\( \displaystyle C_{r+1}^{50}5^{49-r}\le C_r^{50}5^{50-r} \)
⇒\( \displaystyle \frac{50!}{(r+1)!(49-r)!}5^{49-r} \le \frac{50!}{r!(50-r)!}5^{50-r} \)
⇒\( \displaystyle \frac{1}{r+1} \le \frac{5}{50-r} \)⇒\( r \ge 7點多 \)
②另外\( f(r-1) \le f(r) \)
⇒\( \displaystyle C_{r-1}^{50}5^{51-r} \le C_r^{50}5^{50-r} \)
⇒\( \displaystyle \frac{50!}{(r-1)!(51-r)!}5^{51-r} \le \frac{50!}{r!(50-r!)}5^{50-r} \)
⇒\( \displaystyle \frac{5}{51-r} \le \frac{1}{r} \)⇒\( 5r \le 51-r \)⇒\( r \le 8點多 \)
故\( r=8 \)有最大值 填充題第五題
28樓和2樓的答案怎麼不一樣?
誰對?
............................
剛剛我自己解了一次，二樓答案對~~
一起來偵錯，看看28樓哪裡發生錯誤
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-10 04:35 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]David[/i] 於 2014-5-1 12:11 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10171&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第五題, 我算的答案和二樓的大大不同, 貼出來想和各位請教一下, 是哪裏有問題??
所求為\(g(\frac{1}{2})\). 將\(x=\frac{1}{2}\)代入二式, 得
$$f(\frac{1}{2})=\frac{3}{2}+\int_0^2g(\frac{1}{2})dx=\frac{3} ... [/quote]
[indent]我覺得問題出在\(f(x) = x + 1 + \int_0^2 {g(x)dx} \),→\(f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 1 + \int_0^2 {g(\frac{1}{2})dx} \)
\(\frac{1}{2}\)不可以這樣直接帶入。\(\int_0^2 {g(x)dx} \) 積分完之後是一個定值，這是一個定積分。
原本被積分函數是\(g(x)\)，那樣帶入變成對常數 \(g(\frac{1}{2})\)積分。
希望這回答，對你有幫助。[/indent]
5.
令\( \int_{0}^{1}f(x)dx=a \)，\( \int_{0}^{2}g(x)dx=b \)
\( \displaystyle \cases{\int_0^1f(x)dx=\int_0^1(x+1)dx+\int_0^1 b dx⇒a=\frac{1}{2}+1+b \cr
\int_0^2 g(x)dx=\int_0^2 (2x-3)dx+\int_0^2 a dx⇒b=4-6+2a} \)
\( \displaystyle a=\frac{1}{2} \)，\( b=-1 \)
\( \displaystyle g(x)=2x-3+\frac{1}{2}=2x-\frac{5}{2} \)
所求\( \displaystyle g(\frac{1}{2})=2(\; \frac{1}{2} )\;-\frac{5}{2}=\frac{-3}{2} \)
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-11 09:35 AM 編輯 [/i]] 例：投擲一粒公正骰子50次，1點出現次數為r次的機率為Pr，當Pr為最大值，則其r之值為？
給個公式: (請網友自行證明)
[color=Blue](a+b)^n ,一般項為C(n,r)*(a)^(n-r) * b^r---------(*)
令t=a/b , m=[ (n+1) / (t+1)] (下高斯)
(i)當 (n+1) / (t+1) 為"非整數" , r=m 使得(*)有最大值
(ii)當 (n+1) / (t+1) 為"整數" , r=m 與r=m-1使得(*)有最大值
[/color]
例: (5/6 +1/6)^50
n=50 ,a=5/6 ,b=1/6 ,t=5
m=[(n+1)/(t+1)] = [51/6] =8
r=8 使得(*)有最大值
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-10 06:22 PM 編輯 [/i]]
回復 10# Ellipse 的帖子
Ellipse 老師針對填充題第六題，我本來想看看有沒有其他解法。
結論 投降
沒有更好的方法。這個題目設定就是要從幾何圖形出發，我剛剛想用代數，三角函數，複數，想辦法圖形架在座標平面上，給定座標。未必好解。因為我要假設出很多變數。這個題目的\(AC=BC+BI\)等於是設計好的。接受記住這個輔助線的做法。我會再來說服自己，為何要這樣做。
基本上我還是使用輔助線的方法，我換個脈絡來思考。以下是我的想法，供大家參考
想法
[color=Red]從內心可以推出那個角度和是78度
想辦法找出 這兩個角度關係。內心條件已經用了。剩下就是AC=BC+BI
看看可以證明出三角形全等，或是相似嗎?這樣角度之間就有個連結。
為了這個目的，才搭起做(BC延長線)輔助線的想法。為了到達河的對岸。這樣你會記憶比較牢靠
我不喜歡上課，天外飛來一筆，告訴學生做輔助線。很突兀的起頭...[/color]
[attach]2233[/attach]
①
I是內心，所以\( ∠ABI=∠CBI=\alpha \)。
\( ∠BAI=∠CAI=\theta \)。
\( 2 \theta+2 \theta+24^o=180^o \)⇒\( \theta+\alpha=78^o \)
②
[color=Red]作\( \overline{BK}=\overline{BI} \)
\( \overline{BI}+\overline{BC}=\overline{AC} \)⇒\( \overline{BK}+\overline{BC}=\overline{AC} \)⇒\( \overline{KC}=\overline{AC} \)
\( ΔAIC=ΔKIC \)
∴\( ∠IKB=∠CAI=\theta \)
\( ΔIBK \)為等腰三角形∴\( \alpha=2\theta \)[/color]
③
\( \theta+\alpha=\theta+2\theta=3\theta=78^o \)⇒\( \theta=26^o \)
∴\( ∠BAC=52^o \)
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-11 09:40 AM 編輯 [/i]]
回復 40# thepiano 的帖子
這題目我看到時候，考古題有考過，就是用同餘理論去證明。如果考場上沒有直接想出來是用 \(mod 8\)，用\(mod 4\)可以證明出來嗎?? [quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2014-5-11 11:06 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10379&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
用\(mod 4\)可以證明出來嗎?? [/quote]
a、b、c 是三奇數
a^2 + b^2 + c^2 ≡ 3 (mod 4)
7d^2 ≡ 0 or 3 (mod 4)
在這裡就會卡住 ...
回復 57# thepiano 的帖子
謝謝。一卡住趕緊換\(mod 8\)證明回復 30# thepiano 的帖子
[color=Red]\[{a^3} + {b^3} + {c^3} = {\left( {a + b + c} \right)^3} - 3\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) + 3abc\][/color]針對計算題第四題，就是要使用乘法公式來解。如果善用乘法公式，這個題目可以解得很快。
上面這個乘法公式。前年考上教師甄選那年，這個公式有特別去記，但久沒用。還是忘記了。
剛剛在做計算題第四題。。擔心考場公式忘記。自己換個方式思考，推導了一次
\(\begin{array}{l}
{\left( {a + b + c} \right)^3} = 1{\left( {a + b} \right)^3} + 3{\left( {a + b} \right)^2}c + 3\left( {a + b} \right){c^2} + {c^3}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {c^3} + 3{a^2}c + 6abc + 3{b^2}c + 3a{c^2} + 3b{c^2} + {c^3}
\end{array}\)
下面這步就是關鍵整合了
\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 6abc + 3\left\{ {{a^2}\left( {b + c} \right) + {b^2}\left( {c + a} \right) + {c^2}\left( {a + b} \right)} \right\}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 6abc + 3\left\{ {{a^2}\left( {b + c + a - a} \right) + {b^2}\left( {c + a + b - b} \right) + {c^2}\left( {a + b + c - c} \right)} \right\}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 6abc + 3\left\{ {{a^2}\left( {a + b + c} \right) + {b^2}\left( {a + b + c} \right) + {c^2}\left( {a + b + c} \right) - \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)} \right\}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 6abc + 3\left\{ {\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - \left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)} \right\}
\end{array}\)
[color=Red]剩下就是分別把題目給的條件給帶入，找出其他需要的條件[/color]
[color=Red]這樣在考場，不會因為沒有記公式，題目白白放掉了[/color]
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-11 02:00 PM 編輯 [/i]]
回復 59# shingjay176 的帖子
興傑兄，這個公式小弟以前也有背過，但每年都會忘冏我自己是用另一個我比較熟悉的公式去推：
\({{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-\left( ab+bc+ca \right) \right)\)
\(\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\left( a+b+c \right)\left( {{\left( a+b+c \right)}^{2}}-3\left( ab+bc+ca \right) \right)+3abc\)
\(\Rightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}={{\left( a+b+c \right)}^{3}}-3\left( a+b+c \right)\left( ab+bc+ca \right)+3abc\)
這樣會比較好推嗎?還是不會XD