第 4 題
僅需求 C(605，k) * 5^(605 - k) 有最大值時的 k 即可
利用 f(k + 1) ≦ f(k) 和 f(k - 1) ≦ f(k)
可求出 k = 100 和 101 [/quote]
這題也有公式 填充 3
這題的類似題，去年竹北高中代理就考過了
此題相當於把 1~12 這 12 個自然數不重複填入一個二列六行(共 12 格)的表格中
且同一列中，右比左大；同一行中，上比下大，問有幾種填法？
轉化成一個 6 * 6 的表格，A 在左下角，B 在右上角，從 A 走至 B 且不超過直線 AB (可在直線 AB 上)的捷徑走法數有幾種？
一開始在下列最左邊填入 1，代表先往右走一格
接下來若是往上走，表示在上列(由左而右)填入一個數字
若是往右走，表示在下列(由左而右)填入一個數字
數字要由小而大依序去填
所求 = C(12，6) * [1/(6 + 1)] = 132
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-4-29 11:22 AM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-4-27 04:58 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10072&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第 2 題 [/quote]
另圖形解:
這題根本是設計好的
畫完圖會發現
AD為角ACB的平分線 (CA:CB=AD: DB)
角ACD即為所求
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-29 02:19 PM 編輯 [/i]] 感謝寸絲大指正
出錯率還真高@
第二題忘記再開一次根號
第三題再算一次為-488
已修正答案
沒有人提供計算題答案……
我講一下我算的幾題
有錯請指正。感謝
1.M=10/3。m=0。所求=100/9
2.-89/2
4.-488
5.1+π/3-根號3
[[i] 本帖最後由 johncai 於 2014-4-29 09:57 PM 編輯 [/i]]
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計算1. 同
2. \( \frac{-89}{2} \)
4. \( -488 \)
5. 同
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-4-29 06:15 PM 編輯 [/i]] thepiano老師...我反應不是很快...不是很理解@@...感恩...
[quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-4-28 06:19 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10092&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 6 題
a^2 + b^2 + c^2 = 7d^2
由 mod 8 可知四數均為偶數
左右兩邊同除以 4，改寫成 p^2 + q^2 + r^2 = 7s^2
如此不段進行，最後必最少有一數先變成奇數，不合
證畢 ... [/quote] 想請教填充第5題.謝謝~ 填充第五題, 我算的答案和二樓的大大不同, 貼出來想和各位請教一下, 是哪裏有問題??
所求為\(g(\frac{1}{2})\). 將\(x=\frac{1}{2}\)代入二式, 得
$$f(\frac{1}{2})=\frac{3}{2}+\int_0^2g(\frac{1}{2})dx=\frac{3}{2}+2g(\frac{1}{2})$$
$$g(\frac{1}{2})=-2+\int_0^1f(\frac{1}{2})dx=-2+f(\frac{1}{2})$$
解聯立, 得
$$g(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$$.
謝謝.
[[i] 本帖最後由 David 於 2014-5-1 02:04 PM 編輯 [/i]] 想請教計算第四題, 不曉得有沒有老師可以提示(或明示)一下, 謝謝. 計算第 4 題
xy + yz + zx = [(x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2)]/2 = -3
xyz = [(x^3 + y^3 + z^3) - (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)]/3 = -8
(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2 = (xy + yz + zx)^2 - 2xyz(x + y + z) = 41
(xy)^3 + (yz)^3 + (zx)^3 - 3(xyz)^2 = (xy + yz + zx)[(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2 - xyz(x + y + z)]
(xy)^3 + (yz)^3 + (zx)^3 = (-3)(41 + 16) + 3 * 64 = 21
(x^3 + 1)(y^3 + 1)(z^3 + 1)
= (xyz)^3 + (xy)^3 + (yz)^3 + (zx)^3 + x^3 + y^3 + z^3 + 1
= (-8)^3 + 21 + 2 + 1
= -488
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-1 07:50 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-5-1 07:42 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10178&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算第 4 題
xy + yz + zx = [(x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2)]/2 = -3
xyz = [(x^3 + y^3 + z^3) - (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)]/3 = -8
(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2 = (xy + yz + zx)^2 - 2xy ... [/quote]
感謝感謝!
另外, 可以再說一下計算第三題嗎? 之前有老師說跟wallis formula有關, 但google了半天, 還是沒有一點頭緒??? 謝謝. 計算第 3 題
a_n = [1 * 3 * 5 * ... * (2n - 1)]/[2 * 4 * 6 * ... * (2n)] ＞ [1 * 2 * 4 * ... * (2n - 2)]/[2 * 4 * 6 * ... * (2n)] = 1/(2n)
Σ[1/(2n)] (n = 1 ~ ∞) 發散，故 Σ(a_n) (n = 1 ~ ∞) 也發散 想請教計算1..謝謝 [quote]原帖由 [i]idontnow90[/i] 於 2014-5-1 08:47 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10182&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教計算1..謝謝 [/quote]
常考題,提示柯西不等式~
(b^2+c^2+d^2+e^2+f^2)*(1^2+1^2+1^2+1^2+1^2)>=(b+c+d+e+f)^2
(20-a^2)*5>=(10-a)^2
解a範圍~
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-1 08:59 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-5-1 08:46 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10181&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算第 3 題
a_n = [1 * 3 * 5 * ... * (2n - 1)]/[2 * 4 * 6 * ... * (2n)] ＞ [1 * 2 * 4 * ... * (2n - 2)]/[2 * 4 * 6 * ... * (2n)] = 1/(2n)
Σ[1/(2n)] (n = 1 ~ ∞) 發散，故 Σ(a_n) (n = 1 ~ ∞) 也發散 ... [/quote]
藉由打字輸入公式，順便理解一下鋼琴老師的證明想法。
\(\begin{array}{l}
{a_n} = \frac{{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times \left( {2n - 1} \right)}}{{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times 2n}} > \frac{{1 \times 2 \times 4 \times \cdots \times \left( {2n - 2} \right)}}{{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times 2n}} = \frac{1}{{2n}}\\
\\
\;\;\;\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} > \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{2n}}}
\end{array}\)
\(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{2n}}} \) ~~~發散(這個要證明嗎?)我記得這個是調和級數勒
所以 \(\;\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \)也是發散
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-5-1 09:14 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2014-5-1 09:12 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10185&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
藉由打字輸入公式，順便理解一下鋼琴老師的證明想法。
\(\begin{array}{l}
{a_n} = \frac{{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times \left( {2n - 1} \right)}}{{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times 2 ... [/quote]
後面用"積分測試法"證 (Integral test)
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計算 5. 令 \( g(x)=\frac{f(x)}{f(x+\frac{1}{2})} \)，則 \( g(x+\frac{1}{2})=\frac{f(x+\frac{1}{2})}{f(x+1)}=\frac{f(x+\frac{1}{2})}{f(x)} \)，由算幾不等式可得 \( \frac{g(x)+g(x+\frac{1}{2})}{2}\geq1 \)。\( \int_{0}^{1}g(x)dx=\frac{\int_{0}^{1}g(x)dx+\int_{0}^{1}g(x+\frac{1}{2})dx}{2}=\int_{0}^{1}\frac{g(x)+g(x+\frac{1}{2})}{2}dx\geq1 \)。 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2014-5-1 09:15 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10186&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
後面用"積分測試法"證 (Integral test) [/quote]
可以直接當作先備知識，就帶過去嗎?不知道會不會被扣分。
\[\int_1^\infty {\frac{1}{x}} dx = \ln \infty - \ln 1\] [quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2014-5-1 09:23 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10190&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
可以直接當作先備知識，就帶過去嗎?不知道會不會被扣分。
\[\int_1^\infty {\frac{1}{x}} dx = \ln \infty - \ln 1\] [/quote]
應該還是要證一下~
Σ {x=1 to ∞ } 1/x
跟Σ {x=1 to ∞ } 1/x²
也很像阿,但後面收斂到π²/6
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-1 09:37 PM 編輯 [/i]] 計算第 6 題
奇數^2 ≡ 1 (mod 8)
偶數^2 ≡ 0 or 4 (mod 8)
(1) a、b、c 是三奇數
a^2 + b^2 + c^2 ≡ 3 (mod 8)
7d^2 ≡ 7 or 0 or 4 (mod 8)
a^2 + b^2 + c^2 ≠ 7d^2
(2) a、b、c 是二奇數一偶數
a^2 + b^2 + c^2 ≡ 2 or 6 (mod 8)
7d^2 ≡ 7 or 0 or 4 (mod 8)
a^2 + b^2 + c^2 ≠ 7d^2
(3) a、b、c 是一奇數二偶數
a^2 + b^2 + c^2 ≡ 1 or 5 (mod 8)
7d^2 ≡ 7 or 0 or 4 (mod 8)
a^2 + b^2 + c^2 ≠ 7d^2
(4) a、b、c 是三偶數
此時 d 須為偶數，a^2 + b^2 + c^2 = 7d^2 才可能成立
令 a^2 + b^2 + c^2 = (2p)^2 + (2q)^2 + (2r)^2 = 4(p^2 + q^2 + r^2)
7d^2 = 7(2s)^2 = 28s^2
p^2 + q^2 + r^2 = 7s^2
若 p、q、r 仍是三偶數，則再依上列步驟進行，如此繼續不斷，一定會產生 (1) or (2) or (3) 三種情形之一
故不存在不為 0 的整數 a、b、c、d 讓 a^2 + b^2 + c^2 - 7d^2 = 0