103松山高中(辛苦記憶版)
因為往年都沒有公布題目，所以這次特地『先抄題，再考試』，希望題目沒有抄錯。也請大家一起努力，因為是抄出來，所以沒有正確答案。 ><"
110.4.26補充
設\(I\)為\(\Delta ABC\)的內心，且\(\overline{AC}=\overline{BC}+\overline{BI}\)，若\(∠ACB=24^{\circ}\)，則\(∠BAC=\)[u] [/u]。
已知\(I\)為\(\Delta ABC\)的內切圓之圓心，且\(\overline{CA}+\overline{AI}=\overline{BC}\)，若\(∠BCA=42^{\circ}\)，則\(∠ABC=\)[u] [/u]。
(110板橋高中，[url]https://math.pro/db/thread-3507-1-1.html[/url])
謝謝老師
分享一下辛苦做答的答案1. 330
2. 42
3. 132
4. 100 or 101
5.-3/2
6.52
謝謝樓下老師給予指導
[[i] 本帖最後由 ken922590156 於 2014-4-27 11:38 AM 編輯 [/i]] 計算3
跟wallis公式有關~ 填充 3
跟Catalan 數有關，答案應是 132 鋼琴老師果然厲害
在考場有想說是不是立體的一路領先問題
但畫不出來就放棄了 可否請教一下填充2和6呢? 還有我4怎只算出1個...101....我再試試好了....謝謝提供參考答案
[quote]原帖由 [i]ken922590156[/i] 於 2014-4-26 10:57 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10033&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
分享一下辛苦做答的答案
1. 330
2. 42
3. 小弟不會
4. 100 or 101
5.-3/2
6.132 [/quote] [quote]原帖由 [i]natureling[/i] 於 2014-4-27 12:58 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10043&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
可否請教一下填充2和6呢? 還有我4怎只算出1個...101....我再試試好了....謝謝提供參考答案
[/quote]
填6:
小弟算52 這張是第一間考 有點挫敗 有把握的大概只有40.... 可能是小弟算錯了
老師可以分享一下填6嘛？謝謝 [quote]原帖由 [i]ken922590156[/i] 於 2014-4-27 10:56 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10053&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
可能是小弟算錯了
老師可以分享一下填6嘛？謝謝 [/quote]
在CB的延長線上取一點K,使得BK=BI
假設∠BIK=t。 ,因△BIK為等腰三角形
所以∠BKI=∠BIK=t。
由外角定理知∠IBC=∠BKI+∠BIK=2t。
又BI平分∠ABC,所以∠ABC=4t。-------------(1)
依題意知AC=BI+BC=BK+BC=KC
所以△CAK為等腰三角形
因此∠CKI=∠CAI=t。
又AI平分∠BAC,所以∠BAC=2t。-------------(2)
由(1)&(2)及∠ACB=24。
知4t+2t+24=180 ,t=26
所求∠BAC=2t。= 52。 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2014-4-27 11:15 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10055&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
所以△CAK為等腰三角形
因此∠CKI=∠CAI=t [/quote]
請問這有什麼關係可以這樣推論嗎？
計算5
動點P形成紅色區域
[attach]2149[/attach]
[[i] 本帖最後由 shiauy 於 2014-4-27 12:44 PM 編輯 [/i]] 第 4 題
僅需求 C(605，k) * 5^(605 - k) 有最大值時的 k 即可
利用 f(k + 1) ≦ f(k) 和 f(k - 1) ≦ f(k)
可求出 k = 100 和 101 第 6 題另解
在 AC 上取一點 D，使得 CD = BC
AD = BI
△ICD 和 △ICB 全等 (SAS)
DI = BI
AD = DI
∠DIA = ∠DAI = ∠BAI
DI 和 AB 平行
ABID 是等腰梯形
∠BAC + ∠ABC = 180度 - 24度 = 156 度
∠BAC + 2∠BAC = 156 度
∠BAC = 52 度 [quote]原帖由 [i]shiauy[/i] 於 2014-4-27 11:45 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10056&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問這有什麼關係可以這樣推論嗎？ [/quote]
在三角形ACI與KCI中
因三角形CAK為等腰 => CA=CK------(1)
又角ACI=角KCI--------(2)
且CI=CI(公共邊)---------(3)
由(1)&(2)&(3)可知ACI與KCI全等(SAS)
所以角CAI=角CKI 填充第 2 題 剩計算6.7.8了…一點頭緒都沒有，有人有想法的嗎？ 第 6 題
a^2 + b^2 + c^2 = 7d^2
由 mod 8 可知四數均為偶數
左右兩邊同除以 4，改寫成 p^2 + q^2 + r^2 = 7s^2
如此不段進行，最後必最少有一數先變成奇數，不合
證畢
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-4-28 06:20 AM 編輯 [/i]]
回復 17# natureling 的帖子
計算 8.1. 題意中，並無任何地方指出 \( f(x) \) 是一個多項式。
2. 題幹不完整，缺少函數 \( f \) 的定義域及對應域，且敘述有瑕疵
個人傾向解讀為：\( f(f(x)+f(y)) = x+y \), for all \( x, y \in \mathbb{N} \)。
但還是缺少了定義域和對應域，如不做限制，就會以下例子
例 \( f(x)=\begin{cases}
xq & \text{, if }\frac{x}{q}\notin\mathbb{Q}\\
\frac{x}{q} & \text{, if }\frac{x}{q}\in\mathbb{Q}
\end{cases} \)，其中 q 為一無理數，則當 \( x, y\in\mathbb{N} \) 時， \( f(f(x)+f(y))=f(xq+yq)=f((x+y)q)=\frac{(x+y)q}{q}=q \)。
3. 假設 \( f \) 的定義域和值域都是自然數集 \( \mathbb N \)，則 \( f(1)=k\in\mathbb{N} \)
\( f(2k)=2 \), \( f(4)=4k \), \( f(k+4k)=1+4=5 \)，
如此重覆(或數學歸納法)可得 \( f(p)=pk \) 且 \( f(qk)=q \), for \( p=1,4,7,10,\ldots \) 和 \( q=2,5,8,\ldots \)。
\( p, q \) 同上行，可得 \( f(pk+q)=f(f(p)+f(qk))=p+qk \)
\( \Rightarrow f((p+qk)+pk)=f(f(pk+q)+f(p))=pk+q+p \)
又 \( p+qk+pk\equiv1 (Mod 3) \)，因此 \( f(p+qk+pk)=pk+qk^{2}+pk^{2} \)
故 \( pk+q+p=pk+qk^{2}+pk^{2} \Rightarrow (p+q)(k^{2}-1)=0\Rightarrow k=\pm1 \)
而 \( 2014 \equiv 1 (Mod 3) \)，故 \( f(2014) = 2014 \)
4. 3 中我們看到另一個可能解 \( k=-1 \)，如果要接受這個解，我們必須擴充對應域為 \( \mathbb{Z} \)
緊接著的問題是 \( f(f(1)+f(1)) = f(-2) \), 是否繼續擴充定義域，而且讓 \( f \) 滿足的關係式是對任意整數 x, y 皆成立。
否則不擴充的話，負整數，將不受限制，無法無天，然後又會發生無限多可能的解
103.8.28版主補充
設f為由實數映到實數的函數且f不為零函數。若對任意實數x,y，\( f(x+yf(x))=f(x)+xf(y) \)皆成立，試證明：對每一個正整數n，\( f(n)=n \)。
(88全國高中數學競賽 台中區複賽試題(一)，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514[/url])
那這題也可以用上面的方法證明嗎？假如不行的話是為什麼？那該用什麼方法？
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-8-29 12:44 AM 編輯 [/i]] 印象中，計算八題目最前面有說 \(f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\)
所以樓上寸絲老師說的3應該就是標準答案。 [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-4-26 11:44 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10040&ptid=1869][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充 3
跟Catalan 數有關，答案應是 132 [/quote]
期待鋼琴兄解這題~