103中央大學附屬中壢高中
美夢成真教甄討論文章[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3291[/url]
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-4-26 09:56 PM 編輯 [/i]] 填充9.
ABCD-EFGH為一正立方體，各邊長為3，O為正立方體的中心，且\( \overline{EI}:\overline{IH}=2:1 \)，\( \overline{DJ}:\overline{JH}=2:1 \)，求「O,I,J三點所決定之平面」與「正立方體」所截的截面面積為。
[解答]
坐標化算出OIJ平面方程式以及和正立方體的交點
梯形的上底\( \overline{IJ}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \)
\( \overline{LJ}=\sqrt{\overline{LC}^2+\overline{CD}^2+\overline{DJ}^2}=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{17} \)，梯形的高為\( \displaystyle \frac{\sqrt{17}}{2} \)
梯形的下底\( \overline{NK}=\sqrt{3^2+3^2}=3 \sqrt{2} \)
\( \displaystyle 六邊形IJKLMN面積=2 \times 梯形IJKN面積=2 \times \frac{\sqrt{17}}{2}\times \frac{\sqrt{2}+3 \sqrt{2}}{2}=2\sqrt{34} \)
[attach]2146[/attach]
103.5.25補充
以\( A(1,1,1) \),\( B(-1,1,1) \),\( C(-1,-1,1) \),\( D(1,-1,1) \),\( E(1,1,-1) \),\( F(-1,1,-1) \),\( G(-1,-1,-1) \),\( H(1,-1,-1) \)為頂點的正立方體。今有一平面\( x+2y+3z=4 \)與它相截，試問其截面面積為[u] [/u]。
(93筆試二，臺灣師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題，[url]http://www.math.ntnu.edu.tw/down/archive.php?class=105[/url])
填充12.
設兩數列\( a_1,a_2, \ldots ,a_{100} \)及\( b_1,b_2, \ldots ,b_{100} \)滿足\( \displaystyle \cases{a_{n+1}=3a_n-2b_{n+1} \cr b_{n+1}=a_{n+1}-3b_n} \)，\( n=1,2, \ldots ,99 \)。已知\( a_{99}=3^{50} \)，\( b_{100}=4 \dots 3^{49} \)。試求\( \Bigg[\; \matrix{a_1 \cr b_1} \Bigg]\;= \)
(我的教甄準備之路－求數列一般項，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507[/url])
計算2.
\( \displaystyle \sqrt{\frac{1}{16}x^4-\frac{3}{2}x^2-6x+34}+\sqrt{\frac{1}{16}x^4+\frac{1}{2}x^2+1} \)的最小值為？
[解答]
\( \displaystyle \sqrt{(x-3)^2+(\frac{1}{4}x^2-5)^2}+\sqrt{(x-0)^2+(\frac{1}{4}x^2-1)^2} \)
可以看成\( A(3,5) \)，\( B(0,1) \)，P為\( \displaystyle y=\frac{1}{4}x^2 \)上的一個動點，要找\( \overline{PA}+\overline{PB} \)的最小值？
[b]當APB三點共線時，有最小值\( \overline{AB}=5 \)[/b]←此行有錯
請參閱[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1868&page=3#pid10086[/url]
感謝wen0623,一心老師指教
比較常見的是這兩題
試求\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2-6x+13}-\sqrt{x^4-x^2+1} \)之最大值為何？
(1992大陸高中數學競賽，91中一中段考題，95基隆高中，高中數學101 P235)
求函數\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}+\sqrt{x^4-3x^2-8x+20} \)的最小值？
(88全國高中數學競賽 台北市，95台中高農，96彰師附工，97文華高中)
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-25 08:22 AM 編輯 [/i]]
回復 2# bugmens 的帖子
這張考卷，我有去考。等等訂正把答案貼出來。讓我最嘔的是，填充題第十一題，最近算寸絲的講義，算了第200題，前面題目有遇到類似取高斯函數的題目，方法也會了，考場上算出四個答案。我只驗算真數要恆正，沒有驗算原來的等式。因此我的答案寫了四個，包含那個正確答案。不知道這題可以撿到幾分~~~11、若實數 \(x\) 滿足 \({{\left( \log x \right)}^{2}}-\left[ \log x \right]-3=0\) ，則\(x\)=?
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{}&{\left[ {\log x} \right] = t \Rightarrow t \le \log x < t + 1}\\
{}&{ \Rightarrow \left( {\log x} \right) - 1 < t \le \log x}\\
{}&{{{\left( {\log x} \right)}^2} - 3 = \left[ {\log x} \right] = t}\\
{}&{ \Rightarrow \left( {\log x} \right) - 1 < {{\left( {\log x} \right)}^2} - 3 \le \log x}\\
{}&\begin{array}{l}
\log x = A\\
A - 1 < {A^2} - 3 \le A\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A - 1 < {A^2} - 3\\
{A^2} - 3 \le A
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{A^2} - A - 2 > 0\\
{A^2} - A - 3 \le 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A > 2,A < - 1\\
- 1. \cdots \simeq \frac{{1 - \sqrt {13} }}{2} \le A \le \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \simeq 2. \cdots
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \frac{{1 - \sqrt {13} }}{2} \le A <- 1 , 2 < A \le \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}
\end{array}
\end{array}\]
\[\left[ {\log x} \right] = - 2,[\log x] = 2\]
帶回原式 ,
(1) \(\begin{array}{l}
{\left( {\log x} \right)^2} - ( - 2) - 3 = 0\\
\Rightarrow \log x = \pm 1 \Rightarrow x = 10 \vee x = \frac{1}{{10}}
\end{array}\)
(2) \(\begin{array}{l}
{\left( {\log x} \right)^2} - (2) - 3 = 0\\
\Rightarrow \log x = \pm \sqrt 5 \Rightarrow x = {10^{\sqrt 5 }} \vee x = {10^{ - \sqrt 5 }}
\end{array}\)
\(x = 10,\frac{1}{{10}},{10^{\sqrt 5 }},{10^{ - \sqrt 5 }}\)
帶回 \({{\left( \log x \right)}^{2}}-\left[ \log x \right]-3=0\) 驗算
驗算發現只有 \({10^{\sqrt 5 }}\)，符合等式。其餘都不合。另外三個答案，我在寫的時候，只驗算是否真數恆正。
沒有想到驗算這個原本題目的等式。因此四個答案都寫下去了。應該是都沒有分數了。(~~~樂極生悲,可惜了~~~會寫的題目就要步步驚心，小心把正確答案找出來)~~
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-26 09:12 PM 編輯 [/i]]
回復 3# shingjay176 的帖子
可以用勘根定理就好~就可以知道[logx]=2了~回復 4# tacokao 的帖子
非連續函數回復 2# bugmens 的帖子
計算題第二題,也是這樣算,最小值算出來是5
但答案怎是6?
回復 3# shingjay176 的帖子
1、在1到100之間的正整數n中，使得\({{n}^{2}}+7\) 與\(n+4\) 不互質的n有幾個? (這題目我在考場上，看到的第一題，又是今年第一家筆試，正個沒有了解題目意思，當下當成1到100中有多少個正整數與\({{n}^{2}}+7\) 和\(n+4\)不互質~~難怪當下越想越奇怪，整個沒有了解題目意思。犯了學生常犯的錯誤)解
\({{n}^{2}}+7\) 與\(n+4\) 不互質，代表\({{n}^{2}}+7\) 與\(n+4\) 最大公因數不是1。
因此使用輾轉相除法。
\({n^2} + 7\)與\(n+4\)，最大公因數23
令 \({n^2} + 7=23h\)
\(n+4=23k\) \((h,k)=1\)
\(\begin{array}{l}
1 \le n = 23k - 4 \le 100\\
\Rightarrow 0. \cdots \le k \le 4. \cdots \\
k = 1,2,3,4
\end{array}\)
共有4個
2、設\(f(x) = 2{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} + 5{x^2} + 6x + 10\),則\(f(96) \div 193\)的餘數為?
解
觀察發現\(193=(96)(2)+1\)，因此把 \(f(x) = 2{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} + 5{x^2} + 6x + 10\)除以 \(2x+1\)
使用綜合除法
\(f(x) = 2{x^5} + 3{x^4} + 3{x^3} + 5{x^2} + 6x + 10 = (2x + 1)Q(x) + r\)，求出 \(r=8\)
\(\begin{array}{l}
f(x) = (2x + 1)Q(x) + 8\\
f(96) = (2 \times 96 + 1)Q(96) + 8
\end{array}\)
答案 \(8\)
3、設 \(f(x) = {x^2} + 2x - 3, - 4 \le x \le 1\)，求合成函數 \(f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right)\)之最大值為?
解
\(\begin{array}{l}
y = f(x) = {x^2} + 2x - 3, - 4 \le x \le 1\\
y = f\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2} - 4, - 4 \le x \le 1
\end{array}\)
這是一個開口向上的拋物線，頂點會產生最小值。頂點的\(x\)座標有包含在範圍內，可以得到
\[ \Rightarrow - 4 \le y \le 5\]
\[\begin{array}{l}
f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( {f\left( y \right)} \right)\\
k = f\left( y \right) = {\left( {y + 1} \right)^2} - 4, - 4 \le y \le 5\\
\Rightarrow - 4 \le k \le 32\\
f\left( k \right) = {\left( {k + 1} \right)^2} - 4, - 4 \le k \le 32
\end{array}\]
[align=center][/align]當k=32時，原來題目的合成函數有最大值1085
填充題第7題，就看13樓，寸絲老師的解法
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 08:10 PM 編輯 [/i]]
第六題
各位 填充6 不覺得討論出來的東西很怪嗎?光log的真數的自然限制 就只能是上半圓了
可是底數的x+y+1不需要討論0<x+y+1<1 和 x+y+1>1 ?
如果在x+y+1>1的情況下 討論到 x^2+y^2<=1
那圖形切出來 會是135度的扇形耶 計算2.
答案是6無誤，最小值5並不會發生，因為AB線段並不與拋物線相交
原式配方後看成P(x,y)至A點距離+P(x,y)至準線y=-1的距離和
最小值發生在PA直線與準線垂直
故答案為5+1=6
回復 8# yachine 的帖子
填充 6 沒有很怪，圖形如下，虛實線未標[attach]2151[/attach]
回復 10# tsusy 的帖子
哈哈 原來 我少考慮到左邊圓外謝謝你
填充7
請問大家怎麼考量呢我想到的是先假設S=原式
之後乘1/16 去相減
後續卡住 XD
回復 12# yachine 的帖子
填7.求無窮級數\( \displaystyle \frac{3 \times 1}{2^4}+\frac{4 \times 2}{2^6}+\frac{5 \times 3}{2^8}+\frac{6 \times 4}{2^{10}}+\ldots \)之值為？
[解答]
乘 \( \frac14 \) 相減就好了，但是這個操作要做兩次
由 Ratio Test，知該級數收斂，令 \( S=\sum\limits _{n=2}^{\infty}\frac{n^{2}-1}{4^{n}} \)
則 \( (1-\frac{1}{4})S=\frac{3}{16}+\sum\limits _{n=3}^{\infty}\frac{2n-1}{4^{n}} \Rightarrow\frac{3}{4}S=\frac{3}{16}+\sum\limits _{n=3}^{\infty}\frac{2n-1}{4^{n}} \)
\( \Rightarrow(1-\frac{1}{4})(\frac{3}{4}S)=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{16}+\frac{5}{4^{3}}+\sum\limits _{n=4}^{\infty}\frac{2}{4^{n}} \)
\( \Rightarrow\frac{9}{16}S=\frac{9}{64}+\frac{5}{64}+\frac{2}{256}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{11}{48}
\Rightarrow S=\frac{11}{48}\cdot\frac{16}{9}=\frac{11}{27} \)。 大家都好強…
好厲害…
:-D
回復 14# perfectcrazy 的帖子
第四題設\(ABCD\)為矩形，\(\overline {AB} = 1,\overline {BC} = 2,P\)為射線\(\overrightarrow {BC} \)上一點，使\(\tan \left( {\angle APC} \right) = \frac{1}{3}\)，求\(\overline {PD} \)長為?
(我先說我的想法，在考場時候，這個題目很容易思考到座標化，如下圖。可以算出直線 \(BD\)的方程式\(y = \frac{1}{2}x\)，然後假設\(p\)點的參數式，\(p(2t,t),t \ge 0\)，由於\(\tan \left( {\angle APC} \right) = \frac{1}{3}\)的值為正，所以這個角度為銳角，因此\(p\)會落在矩形外面，如下圖的參考圖形。我想藉由向量內積。向量\(PA\)，向量\(PC\)內積去列出一個等式。解出 \(t\)這個未知數。列出來的等式如下
\[\sqrt {{{\left( { - 2t} \right)}^2} + {{\left( {1 - t} \right)}^2}} \times \sqrt {{{\left( {2 - 2t} \right)}^2} + {{\left( { - t} \right)}^2}} \times \frac{3}{{\sqrt {10} }} = 5{t^2} - 3t\]
如果要解出\(t\)，兩邊一平方後，就變成4次的方程式，而且係數很大。想法可以，但算不出來。在考場上就掛住了~~~
剛剛自己訂正又想到用三角函數的方法去做，答案有算出來了。
\(\begin{array}{l}
\angle APC = \theta = \theta 2 + \theta 1,\tan \theta = \frac{1}{3}\\
\Rightarrow \left( {\theta 2 + \theta 1} \right) + \left( {\theta 3 + \theta 4} \right) = {90^0}\\
\Rightarrow \theta = {90^0} - \left( {\theta 3 + \theta 4} \right)\\
\frac{1}{3} = \tan \theta = \tan \left( {{{90}^0} - \left( {\theta 3 + \theta 4} \right)} \right) = \cot \left( {\theta 3 + \theta 4} \right) = \frac{1}{{\tan \left( {\theta 3 + \theta 4} \right)}}
\end{array}\)
\[\frac{1}{3} = \frac{1}{{\tan \left( {\theta 3 + \theta 4} \right)}}\]
\[ \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{1 - (\tan \theta 3)(\tan \theta 4)}}{{(\tan \theta 3) + (\tan \theta 4)}}\]
\[ \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{{1 - \frac{{2t - 2}}{t} \times \frac{{t - 1}}{{2t}}}}{{\frac{{2t - 2}}{t} + \frac{{t - 1}}{{2t}}}}\]
\[ \Rightarrow \frac{{5{t^2} - 5t}}{{2{t^2}}} = \frac{{6{t^2} - 6{t^2} + 12t - 6}}{{2{t^2}}}\]
因為\(t\)大於0，因此得到分子會相等。
\[5{t^2} - 5t = 6{t^2} - 6{t^2} + 12t - 6\]
解出來 \[t = 3 \vee \frac{2}{5}\] \(t = \frac{2}{5}\)不合
由此可知\(p(6,3)\),就可以解出 \[\overline {PD} = \sqrt {20} \]
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 08:11 PM 編輯 [/i]] 填 10. 這類的排組，每個人的方法都略有不同，提供一個方式
先慮丁戊兩人在前三和後三的分布為
(2,0) xoxooo，丁戊有 2 種排法，第一個 o，僅有兩人可站，故此類有 \( 2 \times 2 \times 3! = 24 \)
(1,1) xooxoo，丁戊有 \( (3+3+2)\times 2 =16 \) 種排法；甲乙丙三人恰一人只能排後兩個 o；排完後己有三個位置可選；己選完位後，甲乙丙另兩人恰剩 1 種排法，故此類有 \( 16 \times 2 \times 3 = 96 \)
(0,2) oooxox，丁戊有 2 種排法，己有 4 個位置可選，選後甲乙丙恰一種排法，故此類有 \( 2 \times 4 =8 \) 種
綜合以上，共有128 種排法。
回復 16# tsusy 的帖子
排列組合這題目，我當下直覺放棄。考慮很多可能，算了半天又不一定對。等等再來好好訂正算一次。第五題 \(\Delta ABC\)中，已知\(\overline {BC} = 4\)，\(\vec{BC} \cdot \vec{CA} =2 \vec{CA} \cdot \vec{AB} =3 \vec{AB} \cdot \vec{BC} \)
求線段\(AC\)長度為?
解
\[ab\cos \left( {\pi - C} \right) = 2bc\cos \left( {\pi - A} \right) = 3ca\cos \left( {\pi - B} \right)\]
\[ - ab\cos C = - 2bc\cos A = - 3ca\cos B\]
\[ab\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = 2bc\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = 3ca\frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ca}}\]
\[{a^2} + {b^2} - {c^2} = 2{b^2} + 2{c^2} - 2{a^2} = 3{c^2} + 3{a^2} - 3{b^2}\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} - {c^2} = 2{b^2} + 2{c^2} - 2{a^2}\\
{a^2} + {b^2} - {c^2} = 3{c^2} + 3{a^2} - 3{b^2}
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
- 2{b^2} - 6{c^2} = - 6{a^2}\\
6{b^2} - 6{c^2} = 3{a^2}
\end{array} \right.\]
\[{b^2} = \frac{9}{8}{a^2} \Rightarrow b = \frac{3}{{2\sqrt 2 }} \times 4 = 3\sqrt 2 \]
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 07:31 PM 編輯 [/i]]
計算二
用微分=0可求出n=3，6，-2/3當n=3，所求有min=6
回復 17# shingjay176 的帖子
填充題第六題求\(\log _{\left( {x + y + 1} \right)}^{}\sqrt {1 - {x^2}} \ge \log _{\left( {x + y + 1} \right)}^{}y\)的圖形面積為?
解
(1) 此時取出的範圍是在圓內
\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 1 > 1\\
\sqrt {1 - {x^2}} > 0\\
y > 0\\
\sqrt {1 - {x^2}} \ge y
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y > 0\\
- 1 < x < 1\\
y > 0\\
{x^2} + {y^2} \le 1
\end{array} \right.\]
(2) 此時取出的範圍是在圓內
\[\left\{ \begin{array}{l}
0 < x + y + 1 < 1\\
\sqrt {1 - {x^2}} > 0\\
y > 0\\
\sqrt {1 - {x^2}} \ge y
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < x + y + 1 < 1\\
- 1 < x < 1\\
y > 0\\
{x^2} + {y^2} \ge 1
\end{array} \right.\]
\[\left( {\frac{1}{2} \times {{\left( 1 \right)}^2} \times \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)} \right) + \left\{ {\frac{1}{2} \times 1 \times 1 - \frac{1}{2}{{\left( 1 \right)}^2} \times \frac{\pi }{4}} \right\} = \frac{1}{2} + \frac{\pi }{4}\]
答案 \[\frac{1}{2} + \frac{\pi }{4}\]
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-27 07:53 PM 編輯 [/i]]
回復 18# chin 的帖子
不知道您怎麼微的，這個根號讓人不敢領教，只好由 WolframAlpha 代勞[url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=differential+sqrt%28x%5E4%2F16-3%2F2x%5E2-6x%2B34%29%2Bsqrt%28x%5E4%2F16%2Bx%5E2%2F2%2B1%29]differential sqrt(x^4/16-3/2x^2-6x+34)+sqrt(x^4/16+x^2/2+1)
solve 2 ((x+x^3/4)/sqrt((4+x^2)^2)+(-6-3 x+x^3/4)/sqrt(544-96 x-24 x^2+x^4))=0[/url]
[url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+2+%28%28x%2Bx%5E3%2F4%29%2Fsqrt%28%284%2Bx%5E2%29%5E2%29%2B%28-6-3+x%2Bx%5E3%2F4%29%2Fsqrt%28544-96+x-24+x%5E2%2Bx%5E4%29%29%3D0]solve 2 ((x+x^3/4)/sqrt((4+x^2)^2)+(-6-3 x+x^3/4)/sqrt(544-96 x-24 x^2+x^4))=0[/url]
做出來的結果，微分 =0，僅有 x=3，並非您寫的 3 個？