103臺中女中
美夢成真教甄討論文章[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3290[/url]
國立臺中女中 103 學年度第一學期第一次教師甄選（數學科）筆試題答案更正重新閱卷公告
國立臺中女中 103 學年度第一學期教師甄選數學科初試成績，因發覺填充題第 2 題正確答案有錯，訂於 4 月 28 日上午 8 點重新閱卷，10 點前重新公告初試成績，成績複查時間改為 4 月 28 日上午 10 點至下午 5 點，複試名單延至 4 月 28 日下午 5 點半於本校網站公告。
[url]http://dhcp.tcgs.tc.edu.tw/tcgs/board/view.asp?ID=11426[/url]
103.5.1補充
以下資料供以後考生參考：
初試最低錄取分數 35分
取11名(4名同分)參加複試，錄取1名
55,46,45,43,40,40,36,35,35,35,35
其他，
30~32分 8人
20~29分 35人
10~19分 53人
0~9分 45人
缺考 44人
共計 196 人
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-1 10:36 PM 編輯 [/i]] 6.
若\( \displaystyle secx+tanx=\frac{22}{7} \)，則\( cscx+cotx \)之值為？
Suppose that \( \displaystyle secx+tanx=\frac{22}{7} \) and that \( \displaystyle cscx+cotx=\frac{m}{n} \), where \( \displaystyle \frac{m}{n} \) is in lowest terms. Find \( m+n \).
(1991AIME，[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=182&cid=45&year=1991[/url])
10.
現有一隻青蛙在一個正三角形的三頂點間跳動，每次跳動可隨機由一頂點跳到其他兩個頂點中的一個。若此青蛙從某一個頂點開始跳動，則經過12次跳動後會回到原來的頂點之機率為？
一隻蟲從一有k個點的完全圖的一點出發。在每次移動時，它隨機選擇其它\( k-1 \)個點中的任一個點，並且沿著線段爬行到那個頂點。求此蟲子經過n次移動後，回到它一開始出發的點的機率。
(991中山大學雙週一題第4題)
機率\( \displaystyle =\frac{1-(1-k)^{1-n}}{k} \)
\( k=3,n=12代入 \)得到機率\( \displaystyle \frac{683}{2048} \)
12.
在坐標平面上，有一直角△ABC，以∠C為直角，\( \overline{AD},\overline{BE},\overline{CF} \)為△ABC之三中線，已知\( \overline{AD} \)落在直線\( 2x+y=5 \)上，\( \overline{BE} \)落在直線\( x+2y=1 \)上，\( \overline{AB}=30 \)，則△ABC的面積為？
令三角形ABC為在xy平面上的直角三角形，其中∠C為直角。給定斜邊\( \overline{AB} \)的長度為60，且穿過A與B的中線分別為\( y=x+3 \)與\( y=2x+4 \)，試求三角形ABC的面積。
(102中山大學雙週一題第2題)
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-4-26 09:56 PM 編輯 [/i]] 憑印象補個計算題題目：
1. 直線 \(L\) 通過點 \((2,1)\) 且與拋物線 \(y=-x^2+2x+2\) 圍成一個封閉區域，試問封閉區域的最小面積。（感謝 橢圓老師 提醒正確的方程式係數。）
2. 設 \(\alpha, \beta, \gamma\) 為銳角，且 \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\)，試證明 \(\tan\alpha+\tan\beta+\tan\gamma\geq3\sqrt{2}\) （感謝 kpan 提醒此數字。） 小弟先拋磚引玉
填1:
公式:a^3/((a - b) (a - c)) + b^3/((b - a) (b - c)) + c^3/((c - a) (c - b))=a+b+c---------------(1)
依題意可知: (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=[color=Red]3[/color](x-α)(x-β)---------------(2)
將x=a代入(2),可得 (a-b)(a-c)=3(a-α)(a-β) , (a-α)(a-β)=(1/3)*(a-b)(a-c)------------(3)
將x=b代入(2),可得 (b-a)(b-c)=3(b-α)(b-β) , (b-α)(b-β)=(1/3)*(b-a)(b-c)------------(4)
將x=c代入(2),可得 (c-a)(c-b)=3(c-α)(c-β) , (c-α)(c-β)=(1/3)*(c-a)(c-b)------------(5)
由(3)(4)(5)可將原式分母換掉
所求
=3[a^3/((a - b) (a - c)) + b^3/((b - a) (b - c)) + c^3/((c - a) (c - b))]
=3(a+b+c)---------by(1)
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-26 05:56 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2014-4-26 03:15 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10017&ptid=1867][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
憑印象補個計算題題目：
1. 直線 \(L\) 通過點 \((2,1)\) 且與拋物線 \(y=-x^2-2x+2\) 圍成一個封閉區域，試問封閉區域的最小面積。（還是問有最小面積時的 \(L\) 方程式？忘光光了～：Ｐ ）
2. 設 \(\alpha, \beta, \gamma\) 為銳 ... [/quote]
weiye老師:
計算1的拋物線應該不是y=-x^2-2x+2
這樣P點(2,1)會在拋物線外面(不跟焦點同區域)
所圍面積最小值會是0
回復 5# Ellipse 的帖子
應該是 \(y=-x^2+2x+2\) :) 填充14橢圓方程式T:x^2/a^2+y^2/b^2=1 --------(*)
長軸長=2a=4 ,a=2
短軸長=2b=2, b=1
先觀察圓Q:x^2+ y^2=1 (當(*)的a=1,b=1時)
假設L1:y=x與Q交於A,B兩點
假設L2:y=-x與Q交於C,D兩點
易知AB,CD將圓平分四等份
現在將x軸拉長為原來兩倍
可得T:x^2/4 +y^2/1=1---------(1)
而L1變成L1':y=(1/2)x----------(2)
與T的交點坐標變成A' (2^0.5 ,2^0.5/2) ,B' ( -2^0.5 ,-2^0.5/2)
(將(2)代入(1)解出的)
所求=A'B'=2(2+ 2/4 )^0.5=10^0.5
請參考附件.gif
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-26 06:53 PM 編輯 [/i]] 計算二會不會是要證 tanαtanβtanγ ≧ 2√2 ?
回復 3# weiye 的帖子
第二題 後面是 3根號2 填充8:次方很高看起來很唬人,其實不難~
(修改作法)
z為(x^104+x^103+1)(x^101+x^100+1)=0的一根
所以z^104+z^103+1=0-------------------(1)
或z^101+z^100+1=0-------------------(2)
由(1)得 z^103 (z+1)=-1
兩端取絕對值得|z|^103 *|z+1| =1
因為|z|=1----------(3)
所以|z+1|=1----------(4)
(3)表示在高斯平面上以(0,0)為圓心半徑為1的圓
(4)表示在高斯平面上以(-1,0)為圓心半徑為1的圓
由(3)&(4)的解可得z=(-1+√3i)/2或(-1-√3i)/2
而再作(2)的解亦得相同的答案
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-26 11:52 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]kpan[/i] 於 2014-4-26 10:26 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10030&ptid=1867][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第二題 後面是 3根號2 [/quote]
tanαtanβtanγ ≧ 2√2
用算幾，會得到 tanα + tanβ + tanγ ≧ 3√2
這題可假設 cosα、cosβ、cosγ 是一對角線長為 1 的長方體之長、寬、高來做 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2014-4-26 10:55 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10032&ptid=1867][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充8:
次方很高看起來很唬人,其實不難~
z為(x^104+x^103+1)(x^101+x^100+1)=0的一根
所以z^104+z^103+1=0-------------------(1)
z^101+z^100+1=0-------------------(2)
(1)-(2)得z^104-z^101+z^103-z^100=0
z^101 ... [/quote]
「(1) 且 (2)」?
「(1) 或 (2)」? [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2014-4-26 11:19 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10035&ptid=1867][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
「(1) 且 (2)」?
「(1) 或 (2)」? [/quote]
好像有瑕疵~~
考試時要湊出答案可能會這樣硬算
看了它給的答案會符合(1)且(2)
大家來討論把這題補起來~~
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-26 11:31 PM 編輯 [/i]]
回復 13# Ellipse 的帖子
兩解集合 A 與 B 的交集必是 A 與 B 聯集的子集合所以答案會吻合是正常的
如果真要解～
或許可用複數平面～
1. 找 z^104, z^103, 1 三者位置～
或
2. 找 z^101, z^100, 1 三者位置～
搭配棣美弗定理（ z 在單位圓上）～ 找出可能的 z 第 8 題
令 z = cosx + isinx
分別代入 z + 1 = -1/z^103 和 z + 1 = -1/z^100
比較實部和虛部呢？ [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-4-26 11:43 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10039&ptid=1867][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 8 題
令 z = cosx + isinx
分別代入 z + 1 = -1/z^103 和 z + 1 = -1/z^100
比較實部和虛部呢？ [/quote]
都被騙了~
小弟想到一個妙解,已做修改~~
回復 1# bugmens 的帖子
填充2的答案是否有誤?我算的答案是:αβ=70
參考解法:
由 f(5)=6=5+1，f(12)=13=12+1，
得f(x)-x-1=(x-5)(x-12)p(x)，其中p(x)為整係數多項式(高斯引理)。
解f(x)=x+11，即解 (x-5)(x-12)p(x)=10，
若x為整數，則x-5、x-12、p(x)都是整數，
且x-5與x-12的差距為7，將10分解成幾個整數的乘積，其中有兩個差距為7，
則只有兩種分解法:
10=2×(-5)×(-1) 或 10=5×(-2)×(-1)
因此兩相異整數根是固定的:α-5=2，β-5=5 或者反過來。
因此α=7，β=10，αβ=70。
(也沒有所謂的最大，因為答案是唯一的?) [quote]原帖由 [i]linteacher[/i] 於 2014-4-27 09:26 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10044&ptid=1867][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充2的答案是否有誤?
我算的答案是:αβ=70
參考解法:
由 f(5)=6=5+1，f(12)=13=12+1，
得f(x)-x-1=(x-5)(x-12)p(x)，其中p(x)為整係數多項式(高斯引理)。
解f(x)=x+11，即解 (x-5)(x-12)p(x)=10，
若x為整數，則x-5、x-12、p( ... [/quote]
f(x)=x+11等式成立時 ,只有當(其中)x=α, β
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-27 10:28 AM 編輯 [/i]]
回復 18# Ellipse 的帖子
填 2. 我的解法也與 linteacher 大致相同，也得到相同的唯一可能值 70存在性：\( f(x) = - (x-12)(x-5) + x +1 \)， \( f(x) = x+1 \) 解恰為 \( x =7,10 \)
我也沒有注意到過程有何不當之處，若答案真的為 195，是否可以給出一個 \( f \) ?
回復 18# Ellipse 的帖子
f(x)=x+11 的實根或許有許多，但整數根只有兩種可能，而題目又說兩相異整數根，
因此這兩個整數根便固定下來了。
如果答案有誤，是否會影響成績?
有考試的人或許該督促中女中重新批閱、複查。