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[size=3]直角三角形中，兩股上中線之夾角，與兩股長比值有一對一之關係。亦即，給定兩股上中線之夾角，則這個直角三角形的"形狀"就確定。又再給了斜邊長後，此直角三角形唯一決定。[/size]
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[size=3]原題: 在坐標平面上，有一直角△ABC，以∠C 為直角，AD, BE, CF 為△ABC 之三中線，已知AD落在直線 2x + y = 5上，BE落在直線 x + 2y =1上，AB = 30，則△ABC 的面積為?[/size]
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[size=3]解: 令△ABC兩股長為 a，b，且 b/a = m[/size]
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[size=3]設兩股上中線之銳夾角θ，則 tanθ = 3/4 = (2m-m/2) / (1+2m*m/2) (tan 之和角公式)[/size]
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[size=3]即 1/2 = m / (1+m²)[/size]
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[size=3]解得 m=1 (一般情形下，會解得互為倒數之兩正根，表相似形，即前面提的: 給定兩股上中線之夾角，則這個直角三角形的"形狀"就確定。本題的數據剛好為等腰直角三角形: a = b)。[/size]
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[size=3]再由 a² + b² = 900，所求 = ab/2 = a²/2 = 900/4 = 225[/size]
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[size=3]註: 直角三角形中，兩股上中線之銳夾角θ的取值範圍: 0 < θ <= arctan(3/4)[/size]
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[size=3](102中山大學雙週一題第2題)[/size]
[size=3]令△ABC為在 xy 平面上的直角三角形，其中∠C為直角。給定斜邊AB的長度為60，且穿過A與B的中線分別為 y=x+3 與 y=2x+4，試求三角形ABC的面積。
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[size=3]解: 令△ABC兩股長為 a，b，且 b/a = m[/size]
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[size=3]設兩股上中線之銳夾角θ，則 tanθ = 1/3 = (2m-m/2) / (1+2m*m/2)[/size]
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[size=3]即 2m² + 2 = 9m ....(1)[/size]
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[size=3]以下仿上題解出 m 固然可行，但本題是無理根較麻煩，可以不必直接解出 m。[/size]
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[size=3]令所求面積 = ab/2 = k，又 b/a = m ，兩者乘除分別可得 a² 與 b² 而代入下面關係式:[/size]
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[size=3]斜邊AB的長度為60，故 a² + b² = 3600，即 2k*(m + 1/m) = 3600[/size]
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[size=3]又由(1)式，得 m + 1/m = 9/2，故面積 = k = 400[/size]
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[size=3]註: 用這個思維，若題目不是給中線而是給 "n等分線"，亦不難求得面積。[/size]
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[/size] 請教thepiano老師~計算2這種題目有類似的題目可以練習?
回復 62# 小傑 的帖子
可搜尋 "構造法解題" [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-6-20 11:14 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11294&ptid=1867][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]可搜尋 "構造法解題" [/quote]
計算2.
設\( \alpha,\beta,\gamma \)為銳角，且\( cos^2 \alpha+cos^2 \beta+cos^2 \gamma=1 \)，試證明\( tan \alpha+tan \beta+tan \gamma \ge 3 \sqrt{2} \)
在構造法解題P24有個類題
已知\( \alpha,\beta,\gamma \)都是銳角，且\( cos^2 \alpha+cos^2 \beta+cos^2 \gamma=1 \)，求證：\( \displaystyle \frac{3 \pi}{4}<\alpha+\beta+\gamma< \pi \)。
另外我選了一些書上的題目讓各位做做看
設正數\( x,y,z \)滿足方程組\( \cases{\displaystyle x^2+xy+\frac{z^2}{3}=25 \cr \frac{y^2}{3}+z^2=9 \cr z^2+xz+z^2=16} \)，試求\( xy+2 yz+3 xz \)的值。
P17
(104嘉義女中，[url]https://math.pro/db/thread-2287-1-1.html[/url])
(104華江高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2302&page=2#pid13858[/url])
(105大同高中二招，[url]https://math.pro/db/thread-2515-1-1.html[/url])
求二元函數\( \displaystyle z=(a-b)^2+\left( \sqrt{2-a^2}-\frac{9}{b} \right)^2 \)的最小值。
P29
設\( a,b,c \)互不相等，證明\( \displaystyle \frac{bc}{(a-b)(a-c)}+\frac{ac}{(b-a)(b-c)}+\frac{ab}{(c-a)(c-b)}=1 \)。
P34
如果\( x,y,z,w \)滿足方程組\( \cases{\displaystyle \frac{x^2}{2^2-1^2}+\frac{y^2}{2^2-3^2}+\frac{z^2}{2^2-5^2}+\frac{w^2}{2^2-7^2}=1 \cr
\frac{x^2}{4^2-1^2}+\frac{y^2}{4^2-3^2}+\frac{z^2}{4^2-5^2}+\frac{w^2}{4^2-7^2}=1 \cr
\frac{x^2}{6^2-1^2}+\frac{y^2}{6^2-3^2}+\frac{z^2}{6^2-5^2}+\frac{w^2}{6^2-7^2}=1 \cr
\frac{x^2}{8^2-1^2}+\frac{y^2}{8^2-3^2}+\frac{z^2}{8^2-5^2}+\frac{w^2}{8^2-7^2}=1} \)
求\( x^2+y^2+z^2+w^2 \)的值。
P35
設長為\( a,b,c \)的三線段構成銳角三角形，證明：存在一個對棱相等且分別為\( a,b,c \)的四面體，並計算其體積。
P66
最後面的習題我也選了一些題目讓各位做做看
1.
已知\( a>0,b>0,c>0 \)，且\( \cases{a^2+ab+b^2=19 \cr b^2+bc+c^2=37 \cr c^2+ca+a^2=28} \)，求\( a+b+c \)的值。
3.
設\( x,y,z \)是三個正實數，證明\( \sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{y^2-yz+z^2}>\sqrt{z^2-xz+x^2} \)。
4.
設\( \displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2} \)，證明\( sin x<x<tan x \)。
5.
設\( x,y,z \)都是實數，並滿足\( x+y+z=a \)，\( \displaystyle x^2+y^2+z^2=\frac{a^2}{2} \) ( \( a>0 \) )，證明：\( \displaystyle 0 \le x,y,z \le \frac{2}{3}a \)。
10.
設n為正整數，則\( \displaystyle sin \frac{\pi}{2n+1} \cdot sin \frac{2 \pi}{2n+1} \ldots sin \frac{n \pi}{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{2^n} \)。
11.
設\( P(x) \)是n次多項式，且\( \displaystyle P(k)=\frac{k}{1+k} \)( \( k=0,1,\ldots , n \) )，試求\( P(n+1) \)。
12.
證明：對任何正整數\( n \),有\( \sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\ldots +\sqrt{n}}}}<2 \)。
16.
設\( a,b,c,d \)都是正數，證明：存在一個三角形，其三邊之長分別為\( \sqrt{b^2+c^2} \)，\( \sqrt{a^2+c^2+d^2+2cd} \)，\( \sqrt{a^2+b^2+d^2+2ab} \)，並計算這個三角形的面積。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
想知道答案的網友，可以到各大學的圖書館查詢有沒有這本書，再到圖書館櫃檯憑身分證辦理臨時進出證，因為這裡只是節錄少部分的題目而已，而這本書值得你仔細閱讀
回復 58# thepiano 的帖子
分子是四次的要怎嚜用上面的方法解釋阿構造的是四次函數 但是只有a,b,c三個跟 所求事二次項係數???
回復 65# leo790124 的帖子
\(f\left( x \right)={{x}^{4}}-\left[ \frac{{{a}^{4}}\left( x-b \right)\left( x-c \right)}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}\left( x-a \right)\left( x-c \right)}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}\left( x-a \right)\left( x-b \right)}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \right]\)之四根為a、b、c、d
則
\(\begin{align}
& a+b+c+d=0 \\
& d=-\left( a+b+c \right) \\
& \\
& \frac{{{a}^{4}}}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \\
& =-\left( ab+ac+ad+bc+bd+cd \right) \\
& =-\left[ ab+ac+bc+\left( a+b+c \right)d \right] \\
& =-\left[ ab+ac+bc-\left( a+b+c \right)\left( a+b+c \right) \right] \\
& ={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab+bc+ca \\
\end{align}\) tsusy大我可以問一下嗎?第9題...感謝
為什麼分母不是 P(甲中乙不中丙中)+P(甲不中乙中丙中)+P(甲不中乙不中丙中) @@....
[quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2014-4-28 11:55 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10114&ptid=1867][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 9 題，提供一下算的結果，自己檢查哪個數字可能不小心算錯了
\( P(甲中) = \frac47 \), \( P(甲不中) = \frac37 \)
\( P(甲中且乙不中) = \frac47 \times \frac12 = \frac27 \)，所求 \( = \displaystyle \frac{\frac ... [/quote]
回復 67# natureling 的帖子
(填 9.) 寫成加法，只是把一個事件作分割 (Partition)就像作排組問題的時候，方法經常不唯一，但結果相同
這裡只是丙中的事件作分割的方法不唯一而已，
例如這個加法表示式 \( 3 = 1 + 2 = 1 + 1 + 1 \)，我的方法就像 \( 1 + 2 \)，你的分割就像 \( 1+1+1 \)，你的後兩個 1 相加，正是我的 2
回復 33# tsusy 的帖子
仿造老師的作法z^8(z^20-1)=1
|z^8| |z^20-1| =1
因為已知 |z|=1 得 |z^20-1| =1
接下來該怎麼用複數來找出那八個解?
回復 69# leo790124 的帖子
\( |z^{20}| = |z^{20} -1 | =1 \) 可得 \( z^{20} = \frac12 \pm \frac{\sqrt{3}}2i \), \( z^{20} -1 = -\frac12 \pm \frac{\sqrt{3}}2i \)\( z^8 = \frac1{z^{20} -1} = -\frac12 \mp \frac{\sqrt{3}}2i\)，而 \( z^4 = z^{8\cdot3 -20} = \frac12 \mp \frac{\sqrt{3}}2i \)
(以上為兩組 ++-- 和 --++ )
由 \( z^4 \) 之值，解得 8 個 \( z \) 值...
(每次寫，過程都不一樣XD)