回復 39# natureling 的帖子
填12. 是 225 沒錯，算出來會剛好是等腰直角三角形，不知道您怎麼做的提供一個暴力解，令 \( \overline{BC} =a, \overline{AC} = b \)，則 \( (\frac23\overline{AD})^2 = \frac{4}{9}(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}), (\frac{2}{3}\overline{BE})^{2}=\frac{4}{9}(a^{2}+\frac{b^{2}}{4}) \)。
令 G 為三角形之重心，則 \( \cos \angle AGB = \frac{-4}{5} \) (由直線法向量求夾角得)。
三角形 AGB 中，由餘弦定理得 \( 30^2 = \frac{4}{9}(\frac{a^{2}}{4}+b^{2})+\frac{4}{9}(a^{2}+\frac{b^{2}}{4})-2\cdot\frac{4}{9}\sqrt{(\frac{a^{2}}{4}+b^{2})(a^{2}+\frac{b^{2}}{4})}\cdot(\frac{-4}{5}) \)
再以 \( a^2 + b^2 = 30^2 \) 化簡，可解得 \( a=b = 15\sqrt{2} \)，故得面積為 225
回復 36# 阿光 的帖子
填充 6. #2 bugmens 老師的連結裡已有解法填充 3. 向量的內心公式，及三點共線時線性組合係數和 =1，這兩件事，應該足以處理
填充 16. 預備知識：給定橢圓 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 \)，其中 \( a>b >0 \)
離心率 \( e = \frac{c}{a} \)，準線 \( L: x = - \frac{a^2}{c} \)，焦點 \( F_1(-c,0) \) 滿足：對橢圓上任一點 P， \( e\cdot d(P,L) = \overline{P,F_1} \) \) 皆成立
解. 配方化簡可得 \( \cos\theta+\sqrt{2}+\sqrt{(\sqrt{2}\cos\theta-2)^{2}+(\sin\theta+2)^{2}} \)，
令 \( P(\sqrt{2}\cos\theta,\sin\theta), A(2,-2), L:\: x=-2, F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0) \)。
注意 P 點在 橢圓 \( \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1 \) 上，且 \( L \) 為該橢圓之準線，離心率 \( =\frac{1}{\sqrt{2}} \)。
故 \( \cos\theta+\sqrt{2}+\sqrt{(\sqrt{2}\cos\theta-2)^{2}+(\sin\theta+2)^{2}}=\frac{1} {\sqrt{2}}\overline{PL}+\overline{PA}=\overline{PF_{1}}+\overline{PA} \)
\(\overline{PF_{1}}+\overline{PA}\leq\overline{PF}_{1}+\overline{PF_{2}}+\overline{F_{2}A}=2\sqrt{2}+\sqrt{5} \)，且當 \( F_{2} \) 在 \( \overline{PA} \) 線段上時，等號成立。 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2014-5-4 12:04 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10229&ptid=1867][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填12. 是 225 沒錯，算出來會剛好是等腰直角三角形，不知道您怎麼做的
提供一個暴力解，令 \( \overline{BC} =a, \overline{AC} = b \)，則 \( (\frac23\overline{AD})^2 = \frac{4}{9}(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}), (\frac{2} ... [/quote]
[color=Red]斜率暗藏玄機[/color]~這題下面解釋只差AC是垂直線,BC是水平線的證明(留給網友證)
參考如附件的圖~
考填充題可以大膽一點,先畫正常的圖(AC是垂直線,BC是水平線)
再根據題目給的資料
假設AD的斜率為m1,則m1=-2,
可知AC/CD=2/1 ,令AC=2t,CD=t (t>0) --------(1)
假設BE的斜率為m2,則m2=-(1/2)
可知EC/CB=1/2 ,令EC=k,CB=2k (k>0)--------(2)
由(1)&(2)及E,D分別為AC,CB中點知
AC=2EC ,2t=2(k) ,則t=k
所以AC=CB為等腰直角三角形(角C=90度)
剩下就簡單了~
註: 在所有的等腰直角三角形ABC(角C=90度)
當AC是垂直線,BC是水平線
則中線AD的斜率皆為 -2
中線BE的斜率皆為-1/2
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-4 10:50 AM 編輯 [/i]] 再整理一下填充12所用的性質
Lemma:
[color=Blue]在坐標平面上,若三角形ABC的角C為直角
且中線AD的斜率為-2,中線BE的斜率為-1/2
<=>
AC=BC,且AC是垂直線,BC是水平線[/color] 請問13、15
回復 45# panda.xiong 的帖子
填充 15. 以 \( a \) 各數分類相加得 \( \sum\limits _{k=1}^{5}C_{2k-1}^{10}\cdot2^{10-(2k-1)} \)其中看作 \( (x+2)^{10} \) 展開中的 \( x \) 的奇數次方的係數和
故所求 = \( \frac{(1+2)^{10}-(-1+2)^{10}}{2}=\frac{3^{10}-1}{2} \)
填 13. 注意 \( D(\frac{2}{3},\frac{1}{3},0) \) 必為 \( \overline{AB} \) 與平面 \( E \) 之交點。
考慮 \( \overline{DE} \) 為平面 \( E \) 被 \( \triangle ABC \) 所截出線段，
\( E \) 的位置有兩種可能：在 \( \overline{CA} \) 上或在 \( \overline{CB} \) 上。
利用 \( \triangle=\frac{1}{2}ab\sin\theta \)，去解 \( \triangle ADE=\frac{1}{2}\triangle ABC \) (若 \( E \) 在 \( \overline{CA} \) 上)
及 \( \triangle BDE=\frac{1}{2}\triangle BAC \) (若 \( E \) 在 \( \overline{CB} \) 上)，
可得 \( E \) 不在 \( \overline{CA} \)，故僅有一解，且 \( E \) 在 \( \overline{CB} \) 上滿足 \( \overline{BE}=\frac{3}{4}\overline{BC} \)
\( \Rightarrow E(0,\frac{1}{4},\frac{3}{4}) \)，代入平面方程式得 \( a=\frac{3}{2} \)。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-7 11:56 PM 編輯 [/i]] 嗚~~我還是找不出來錯在哪?只有對到差3倍...我是模仿雙週一題算的.
[quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2014-5-4 12:04 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10229&ptid=1867][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填12. 是 225 沒錯，算出來會剛好是等腰直角三角形，不知道您怎麼做的
提供一個暴力解，令 \( \overline{BC} =a, \overline{AC} = b \)，則 \( (\frac23\overline{AD})^2 = \frac{4}{9}(\frac{a^{2}}{4}+b^{2}), (\frac{2} ... [/quote]
回復 47# natureling 的帖子
三個行列式的正負號不同，先取絕對值相加，和相加的絕對值不相等 12.由重心向量關係式知 向量GA+向量GB+向量GC=0向量 得|GA|^2+|GB|^2+2向量GA‧向量GB=|GC|^2
又|GF|=5,且利用兩直線之法向量可知角AGB之餘弦值為-4/5，再由中線定理可知|GA|^2+|GB|^2=2(|GF|^2+|AF|^2)=500，
故向量GA‧向量GB=-200，因此|GA||GB|=250
再利用角AGB之正弦值與重心之三等份面積性質可知ABC面積=3x(1/2)x250x(3/5)=225
6.
已知sec+tanx=(22/7)，設secx-tanx=k，兩式相乘得(secx)^2-(tanx)^2=22k/7，故k=7/22
再解上述兩式之聯立可得secx和tanx
[[i] 本帖最後由 tzhau 於 2014-5-14 01:32 PM 編輯 [/i]] 個人覺得填充第一題，題目不太嚴謹。
應該加上: "a,b,c 皆相異" 這個條件；否則，考慮 a=b=c=1 的情況，即會出毛病。
追本溯源，公式 a³/(a - b)(a - c) + b³/(b - a)(b - c) + c³/(c - a)(c - b) = a+b+c 要成立，必須a,b,c 皆相異。
填充10 另解
凡狡兔三窟 , 青蛙亂跳...等問題...若次數20次以下, 用下列方式其實算蠻快的參考看看
[[i] 本帖最後由 tuhunger 於 2014-6-11 01:50 AM 編輯 [/i]]
回復 4# Ellipse 的帖子
請教橢圓兄，[b]填充 1.[/b] 中所用的式子公式：\( \displaystyle \frac{a^3}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^3}{(b - a) (b - c)} + \frac{c^3}{(c - a) (c - b)} = a+b+c \)
有無簡潔之證明 (會證是會證，但是證得不好看而且寫起來不順手)
回復 52# tsusy 的帖子
令\(\displaystyle f\left( x \right)={{x}^{4}}-\left[ \frac{{{a}^{4}}\left( x-b \right)\left( x-c \right)}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}\left( x-a \right)\left( x-c \right)}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}\left( x-a \right)\left( x-b \right)}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \right]=0\)之四根為 a、b、c、d
\(\begin{align}
& f\left( 0 \right)=-\left[ \frac{{{a}^{4}}bc}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{a{{b}^{4}}c}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{ab{{c}^{4}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)} \right]=abcd \\
& \frac{{{a}^{3}}}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{3}}}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{3}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)}=-d=a+b+c \\
& \\
\end{align}\)
回復 53# thepiano 的帖子
鋼琴老師好漂亮的證法~受教了:) [quote]原帖由 [i]hua0127[/i] 於 2014-6-12 08:52 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11121&ptid=1867][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]鋼琴老師好漂亮的證法~受教了:) [/quote]
帥!鋼琴兄的神解~
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-11-5 08:30 PM 編輯 [/i]] 幫忙打字,節省論壇空間
Q：試證\( \displaystyle \frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}=a+b+c \)
pf：Lemma
\( \displaystyle \frac{a}{(a-b)(a-c)}+\frac{b}{(b-c)(b-a)}+\frac{c}{(c-a)(c-b)}=0 \)－－①
\( \displaystyle \frac{a^2}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2}{(c-a)(c-b)}=1 \)－－②
設所求為k－－③，令\( \displaystyle x=\frac{1}{(a-b)(a-c)} \)，\( \displaystyle y=\frac{1}{(b-c)(b-a)} \)，\( \displaystyle z=\frac{1}{(c-a)(c-b)} \)－－④
可列出聯立方程組\( \displaystyle \cases{ax+by+cz=0 \cr a^2x+b^2y+c^2z=1 \cr a^3x+b^3y+c^3z=k} \)
∴\( \displaystyle \Delta=\left|\ \matrix{a & b & c \cr a^2 & b^2 & c^2 \cr a^3 & b^3 & c^3} \right|\ =abc(a-b)(b-c)(c-a) \)
\( \displaystyle \Delta \cdot x=abc(a-b)(b-c)(c-a)\cdot \frac{1}{(a-b)(a-c)}=-abc(b-c) \)－－⑤
又\( \Delta_x=\left|\ \matrix{0 & b & c \cr 1 & b^2 & c^2 \cr k & b^3 & c^3} \right|\ =bc(b-c)(b+c-k) \)－－⑥
比較⑤& ⑥ ∴\( b+c-k=-a \)，\( k=a+b+c \)
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-11-5 08:40 PM 編輯 [/i]] [size=3]請教一下， 鋼琴老師的妙解是否可作如下修改: (已知 a，b，c 皆相異)[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]f(x) = x³ - [a³(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c) + b³(x-a)(x-c)/(b-a)(b-c) + c³(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)] = 0 之三根為 a，b，c 。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3][...] 內為滿足 f(a) = a³，f(b) = b³，f(c) = c³ 之二次函數。[/size]
[size=3]考慮 f(x) = 0 之三根和，由根與係數關係，得:[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]a³/(a-b)(a-c) + b³/(b-a)(b-c) + c³/(c-a)(c-b) = a + b + c[/size]
[size=3]之所以想這樣改，是覺得上面的思維與拉格朗日插值法有較緊密的聯繫，而原待證式在型態上亦與拉格朗日插值公式有相似處，或許比較容易聯想出來。[/size]
回復 57# cefepime 的帖子
這樣簡捷很多，分子是四次的也可以這樣玩\(\frac{{{a}^{4}}}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{4}}}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{{{c}^{4}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+ab+bc+ca\)
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-12 03:58 PM 編輯 [/i]]
回復 56# Ellipse 的帖子
好厲害，Ellipse 兄和鋼琴兄兩位當真神人也！回復 56# bugmens 的帖子
bugmens兄,不好意思麻煩您了~有空再來學LATEX的語法
對了,在用電腦看時
怎有時候相鄰兩列會疊在一起?
有時字會有大有小?