請教 對於任意小於1的實數x，f(x)=a49^x+7^x+1恆大於0，求a範圍?
對於任意小於1的實數x，f(x)=a49^x+7^x+1恆大於0，試求a的範圍? 解答是 a大於等於-8/49 感謝 已解決a49^x+7^x+1>0 所以 a49^x>-(7^x+1)=>a49^x>-(7^x+1)/49^x
又x<1 所以 用x=1 => a>-8/49 \(a\cdot49^x+7^x+1>0\)
\(\displaystyle
\Leftrightarrow \left(\frac{1}{7^x}\right)^2+\left(\frac{1}{7^x}\right)+a>0
\)
令 \(\displaystyle t=\frac{1}{7^x}\)，\(\displaystyle g(t)=t^2+t+a=\left(t+\frac{1}{2}\right)+a-\frac{1}{4}>0\)
因為 \(x<1\)，所以 \(\displaystyle
t=\frac{1}{7^x}>\frac{1}{7}\)
依題述，可知 \(\displaystyle
g(t)>0, \forall t>\frac{1}{7}\)
因為 \(g(t)\) 當 \(\displaystyle t\geq-\frac{1}{2}\) 時，為嚴格遞增函數，
\(\displaystyle
\Rightarrow g(t)>g(\frac{1}{7})\geq0, \forall t>\frac{1}{7}\)
\(\displaystyle
\left(\frac{1}{7}\right)^2+\left(\frac{1}{7}\right)+a
\geq0\)
\(\displaystyle a\geq-\frac{8}{49}\)
註：感謝 thepiano 老師提醒答案漏掉等號。 若 a = -8/49 時
f(x) = (-8/49) * 49^x + 7^x + 1
f(1) = 0
但對 x < 1 而言，f(x) 仍恆正 感謝大家的解答 ^^
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