是拋物線沒錯，Ellipse 兄太厲害了
我是用了微分找固定 \( x \)，軌跡中 \( y \) 的最大值，一言以蔽之就是暴力找出邊界曲線的函數
令 \( y = (1-t)(1-\frac{x}{t}) \)，則 \( \frac{dy}{dt} = \frac{x-t^{2}}{t^{2}} \)
... [/quote]
寸絲過獎了~
我提供自己的做法,但不夠嚴
假設所求曲線為T,A(t,0) ,B(0,1-t)
一開始A在(0,0) ,B在(0,1) 此時 AB在y軸上為T的切線--------(1)
最後A在(1,0) ,B在(0,0) 此時 AB在x軸上為T的切線----------(2)
而一般拋物線利用摺紙方式出現的包絡線就如這題
(但看到這題包絡線就推論曲線是拋物線需要證明)
先大膽假設曲線是拋物線,由(1)&(2)互相垂直
知兩切線的交點(0,0)必在準線上
由曲線對稱性知準線為L:x+y=0,頂點為(1/4,1/4),則焦點F為(1/2,1/2)
(頂點為x-y=0與x/(1/2) + y/ (1/2)=1 的交點)
假設P(x,y)為T上任一點,由拋物線定義: PF=d(p,L)
(x-1/2)^2+(y-1/2)^2 =|x+y| /2^0.5
整理得x^2-2xy+y^2-2x-2y+1=0
x^2-2xy+y^2-2x+2y+1=4y
(x-y-1)^2=4y ,取 x-y-1= -2y^0.5
x=1-2y^0.5+y=(1-y^0.5)^2
取x^0.5=1-y^0.5
得T為x^0.5+y^0.5=1
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-19 12:39 AM 編輯 [/i]]
包絡線
繼續上一篇:若是小弟我在當時考試算到T為x^2-2xy+y^2-2x-2y+1=0
也無法馬上化簡到x^0.5+y^0.5=1
可能考慮坐標轉換成如圖所示
OC為舊坐標的y軸 ,OD為舊坐標的x軸
新坐標的拋物線為y^2=2^0.5(x-2^0.5/4) [可改成x=(y^2+1/2) / 2^0.5]
C點為(2^0.5/2 ,2^0.5/2)
D點為(2^0.5/2 ,-2^0.5/2)
所求紅色區域面積為
2* ∫{0 to 2^0.5/2} [(y^2+1/2) / 2^0.5 - y ] dy
=2(1/12 +1/4 -1/4)
=1/6
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-19 10:25 AM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2014-4-18 05:27 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=9907&ptid=1853][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這題是截距和為 1，圖形如下
[/quote]
這種題目若是
x軸,y軸沒有互相垂直,但截距和為 1
畫出來的曲線也應該是"拋物線"
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-4-19 10:32 AM 編輯 [/i]] 請教填充5.
感謝
回復 24# simon112266 的帖子
請參考本討論串第二篇的附加檔回復 14# shiauy 的帖子
填充4想說因為甲乙獲勝機率是一樣的，那先算丙不知道可否?但對嗎?... 以下算式，可以麻煩各位幫我看看哦!
第一場甲勝
情況一===>1/4
(勝)甲|丙丙
(敗)乙|甲乙
情況二===>1/8x
(勝)甲|丙乙甲
(敗)乙|甲丙乙
就重複
所以x=2*(1/2)[1/4+1/8x]，則x=2/7(丙獲勝的機率)，所以甲為5/14。
第一場乙勝
情況一
(勝)乙丙丙
(敗)甲乙甲
情況二
(勝)乙丙甲乙
(敗)甲乙丙甲
就重複 分享填充2，
我是用科西。[attach]2116[/attach]
回復 20# bugmens 的帖子
bugmens老師不小心將題號打錯五邊形那題是計算3.
另外提供一個體積解法
[attach]2117[/attach]
回復 27# ichiban 的帖子
我也是用此方法,但在過程中有用到算幾不等式,
(x+1/x)^2 >= [2*sqrt{x*(1/x)}]^2 ,
此題僅給x,y為實數,且x不等於0
而非正整數條件,這樣會不會有影響?
回復 29# wen0623 的帖子
很幸運地，這是填充題... 閱卷者只看答案而更幸運地，答案恰好也等於以這個解法解出來的下界2
這裡因為 \(x\) 和 \(\displaystyle \frac{1}{x}\) 同正負，故可由算幾不等式得 \(\displaystyle |x+\frac{1}{x}|\geq2\) \(\displaystyle \Rightarrow \Big(x+\frac{1}{x}\Big)^2\geq4\)
如果要用此解法，還必須說明最小值真的會是你求出來的下界2，
也就是要確實找出 \(x=?,y=?\) 能同時滿足算幾以及柯西的等號成立時機！
回復 14# shiauy 的帖子
填充4....還是不太懂一心老大的做法：
1.甲先贏
則輸的人依序是
乙)丙 ，則甲勝
乙)甲丙乙 又回到P1的情形，故P1=(1/2)+(1/8)P1，得P1=8/14
問題：乙)甲丙乙==>只在第四局時甲贏，即甲贏了兩場，甲獲勝，那機率為何是(1/8)P1？
(1/8)又是指哪幾局的情況呢？
為什麼不是直接用(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)就好呢？
P=(1/2)(P0+P1)
問題：為什麼要乘(1/2)啊？
回復 31# panda.xiong 的帖子
那，改成看贏家呢？會比較清楚嗎？[attach]2176[/attach]
回復 32# ichiban 的帖子
感恩喔....?懂了...請問有計算第四題的作法嗎??
回復 33# panda.xiong 的帖子
計算 4. (1) 考過不知凡幾 [url]https://math.pro/db/thread-499-1-4.html[/url][url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=1#pid1296]98彰化女中[/url]、[url=https://math.pro/db/thread-968-1-1.html]99建國高中[/url]、[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1116&page=1#pid3305]100台中二中[/url]、[url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1131]100玉井工商[/url]
(2) 有耐心分類一下其實不難，沒耐心的話，排組的題目以後乾脆繞著走算了
AOOOBOOOOC，ABC: \( 3! \)
前三： OOO 隨便數，5 種
後四：OOOO，依 B 出現的位置分類，以 X 表示非 B 有 BXBCAC、BXXBAC、BXXXBC、BXBXBC、BCACAC，
其中的部分位置在 B 決定後，就會唯一決定，如 BXBXXC 必為 BXBACA。因此 OOOO 有 \( 2+2+2+2^2+1 =11 \)
故所求 \( = 3! \times 5 \times 11 = 330 \) [quote]原帖由 [i]shiauy[/i] 於 2014-4-18 03:18 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=9901&ptid=1853][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充1
利用平行四邊形定理，四邊為1，其中一條對角線長10/13
得到另一對角線長後，再用海龍公式算面積
填充2
分別對x、y偏微分，得極值發生在x=-y or x=±1
但x=-y不合，當x=±1, y=0代入
填充3
令極坐標P(r,θ)
A(10°)B(20 ... [/quote]
請教一心老師
填充1: 若用和差化積
z+u=2cos(9a-b)/2)(cos((a+b)/2)+isin((a+b)/2))=(6+8i)/13=(10/13)(3/5+4/5i)
則cos(a+b)/2=3/5, sin(a+b)/2=4/5 AOB面積=1/2*|z||u|sin(a+b)=12/25
不知我哪一個環節弄錯了
謝謝
回復 35# arend 的帖子
填充 1. 你的記號中，\( \angle AOB = |a -b| \)故 \( \sin \angle AOB = 2 \cdot \frac5{13} \cdot \frac{12}{13} \)
故面積為 \( \frac12 \times 1 \times 1 \times \frac{120}{169} = \frac{60}{169} \) [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2014-6-4 07:30 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10938&ptid=1853][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充 1. 你的記號中，\( \angle AOB = |a -b| \)
故 \( \sin \angle AOB = 2 \cdot \frac5{13} \cdot \frac{12}{13} \)
故面積為 \( \frac12 \times 1 \times 1 \times \frac{120}{169} = \frac{60}{169} \) ... [/quote]
請教寸絲老師
為何角AOB=|a-b|,而非|a+b|?
第二, |cos(a-b)/2|是長度, Arg(AOB)=(a+b)/2 ?
不好意思,這邊我疑惑了, 請不吝告知
謝謝
回復 37# arend 的帖子
不知道寸絲老師所指的是不是這樣，小的也不敢亂猜測XD..
因為要算三角形面積，得先算 \(\sin \left( {b - a} \right)\)
而 \(\sin \left( {b - a} \right) = 2\sin \left( {\frac{{b - a}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{b - a}}{2}} \right) = 2 \times \frac{{12}}{{13}} \times \frac{5}{{13}}\)
故面積=\(\frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times 2 \times \frac{{12}}{{13}} \times \frac{5}{{13}} = \frac{{60}}{{169}}\)
如果有誤，請不吝指教。
抱歉我的圖跟您的數據不一樣...請見諒，
(圖只是參考，並不與題目數據相同XD..)
[[i] 本帖最後由 cathy80609 於 2014-8-10 05:28 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]cathy80609[/i] 於 2014-8-10 05:24 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11823&ptid=1853][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
不知道寸絲老師所指的是不是這樣，
小的也不敢亂猜測XD..
因為要算三角形面積，得先算 \(\sin \left( {b - a} \right)\)
而 \(\sin \left( {b - a} \right) = 2\sin \left( {\frac{{b - a}}{2}} \right)\cos \left( { ... [/quote]
三角形aob等於三角形aoc,其中c為z,u和向量的終點，直接海龍即可 [quote]原帖由 [i]shiauy[/i] 於 2014-4-18 03:18 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=9901&ptid=1853][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充1
利用平行四邊形定理，四邊為1，其中一條對角線長10/13
得到另一對角線長後，再用海龍公式算面積
填充2
分別對x、y偏微分，得極值發生在x=-y or x=±1
但x=-y不合，當x=±1, y=0代入
填充3
令極坐標P(r,θ)
A(10°)B(20 ... [/quote]
想請問填三
a矩陣是逆轉，而b矩陣是對稱x軸之後再逆轉
為什麼不是由左到右依序轉換呢，，感恩
[[i] 本帖最後由 kyrandia 於 2014-9-3 08:49 PM 編輯 [/i]]