103北一女中
其他題目再麻煩其他老師囉!!!註： weiye 於4/18, 14:11 合併相同主題，並變更主題名稱為『103北一女中』，方便往後搜尋討論。
更多題目內容，請見後方回復＃7。
第二題解析(參考)
請大家看看有沒有錯!!令\( f(x)-g(x)=ax+b \)
\( [f(x)]^2=[g(x)+(ax+b)]^2=g^2 (x)+2g(x)(ax+b)+(ax+b)^2 \)
\( a^2 x^2+2abx+b^2=g(x)\cdot商+4x-4 \ldots \ldots (1) \)
\( a^2 x^2+2abx+b^2=f(x)\cdot 商+(-4x-4) \ldots \ldots (2) \)
∵\(f(x),g(x)\)為二次\(\Rightarrow\)商\(=a^2\)
\( (1)-(2) \Rightarrow 0=a^2[f(x)-g(x)]-8x\)
∵\( f(x)-g(x)=ax+b \)
\(\Rightarrow a^3 x+a^2 b-8x=0\)
\(\Rightarrow a=2,b=0\)
所求為\(2x\) [quote]原帖由 [i]nianzu[/i] 於 2014-4-17 12:17 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=9880&ptid=1853][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請大家看看有沒有錯!! [/quote]
第一題
猜最小值約在27附近 第 1 題
題目應該沒有"相異"兩字，不然取不到最小值
若沒有"相異"兩字，答案是 27
回復 4# thepiano 的帖子
題目的確沒有相異兩字請問如何解呢?
謝謝 第 1 題
f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1
由於 a ≧ 0，b ≧ 0
易知 x ≧ 0，f(x) ≧ 1，故 f(x) = 0 之三根均為負
令 f(x) = 0 之三根為 -p、-q、-r (p、q、r ＞ 0)
pqr = 1
a = p + q + r ≧ 3(pqr)^(1/3) = 3
b = pq + qr + rp ≧ 3(pqr)^(2/3) = 3
等號均成立於 p = q = r
f(2) = 4a + 2b + 9 ≧ 12 + 6 + 9 = 27
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-4-17 07:25 PM 編輯 [/i]]
103北一女中
一、填充題（每格9分，共54分）二、計算證明題（共66分）
1. 10分
開根號乘以10的平均問題，解法是否正確。
2. (1) 5分
x, y 都是無理數，x^y 是否為有理數，若是，請證明。
(2) 5分
正六邊形摺紙問題，小紅小綠有不同解法，是否正確。
3. 15分
(1) 長方體截面是什麼形狀？
(2) 如何教學生判斷，請提出兩種以上的方法。
(3) 截出來比較小那部分的體積為何？
4. 16分
□□□□□□□□□□ 十個格子塗紅、黃、綠三色，相鄰不同色
(1) 若第1格和第10格不同色，方法數為何？
(2) 若第1、5、10都不同色，方法數為何？
5. 15分
有一線段交 x 軸於 ( t , 0 )，交 y 軸於 ( 0 , 1-t )，0 ≦ t ≦ 1，
求此線段形成的圖形與 x、y軸圍成區域的面積。
憑印象大略打出來，有錯再麻煩指正
回復 1# Superconan 的帖子
計算5. 應該說清楚是此線段所產生[color=Red]的軌跡圖形[/color] (說明上不需要 x,y 軸)回復 6# thepiano 的帖子
謝謝老師!!! 計算5:利用ggb畫出包絡線的動畫
回復 3# Ellipse 的帖子
計算 5. 算出來是曲線 \( \sqrt{x} + \sqrt{y} =1 \) 和坐標軸圍成的區域 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2014-4-18 02:09 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=9898&ptid=1853][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]計算 5. 算出來是曲線 \( \sqrt{x} + \sqrt{y} =1 \) 和坐標軸圍成的區域 [/quote]
印象中這個曲線好像是"拋物線"~
回復 11# tsusy 的帖子
所以是拋物線嗎?@請問如何證明是這個曲線呢?
謝謝 填充1
利用平行四邊形定理，四邊為1，其中一條對角線長10/13
得到另一對角線長後，再用海龍公式算面積
填充2
分別對x、y偏微分，得極值發生在x=-y or x=±1
但x=-y不合，當x=±1, y=0代入
填充3
令極坐標P(r,θ)
A(10°)B(20°)A(30°)B(40°)A(50°)B(60°)A(70°)B(80°)A(90°)(r,θ)
=A(10°)B(20°)A(30°)B(40°)A(50°)B(60°)A(70°)B(80°)(r,90°+θ)
=A(10°)B(20°)A(30°)B(40°)A(50°)B(60°)A(70°)(r,-10°-θ)
=A(10°)B(20°)A(30°)B(40°)A(50°)B(60°)(r,60°-θ)
=A(10°)B(20°)A(30°)B(40°)A(50°)(r,θ)
=---
=A(10°)(r,θ)
填充4
第一場可能甲贏或甲輸
令P1表示甲已贏一場，獲勝的機率、P0表示甲還沒贏一場，獲勝的機率
討論若甲獲勝每局輸的人
1.甲先贏
則輸的人依序是
乙)丙 ，則甲勝
乙)甲丙乙 又回到P1的情形，故P1=(1/2)+(1/8)P1，得P1=8/14
2.甲輸第一局
則輸的人依序
甲)乙丙 ，又回到P1的情形，P0=(1/4)P1=2/14
P=(1/2)(P0+P1)
故所求為5/14
計算一
[attach]2109[/attach]
[[i] 本帖最後由 shiauy 於 2014-4-18 08:01 PM 編輯 [/i]]
回復 15# thepiano 的帖子
鋼琴兄應該是不小心記錯了，星形線是長度固定為 1 的時候這題是截距和為 1，圖形如下
[attach]2108[/attach] 填充2我是這麼想，可能不嚴謹
看到平方和求最小值，可用高一上所學過的平均觀念去想，剛好可配合算幾不等式
填充2
令A(x,1/x)，B(-y,y)則A為雙曲線xy=1上的動點，B為直線y=-x上的動點
原題目變成求AB距離平方的最小值
作圖易知當A(1,1)，B(0,0)時，所求有最小值=2 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2014-4-18 05:27 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=9907&ptid=1853][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
星形線是長度固定為 1 的時候
這題是截距和為 1[/quote]
感謝寸絲兄的指正，是小弟愚鈍，誤解題意！
回復 13# johncai 的帖子
是拋物線沒錯，Ellipse 兄太厲害了我是用了微分找固定 \( x \)，軌跡中 \( y \) 的最大值，一言以蔽之就是暴力找出邊界曲線的函數
令 \( y = (1-t)(1-\frac{x}{t}) \)，則 \( \displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{x-t^{2}}{t^{2}} \)
判別零點和正負，可知在 \( 0 < t < 1 \), 固定 \( x \) 滿足 \( 0\leq x\leq 1\) 的條件下，\( t = \sqrt{x} \)，\( y \) 有最大值 \( (1-\sqrt{x})^2 \)
計算積分 \( \displaystyle \int_0^1 1-\sqrt{x})^2 dx = \frac16 \) 填充2.
設\( x,y \in R \)，\( x \ne 0 \)，則函數\( f(x,y)=(x+y)^2+(\frac{1}{x}-y)^2 \)的最小值是[u] [/u]。
[解答]
\( \displaystyle f(x,y)=x^2+2xy+y^2+\frac{1}{x^2}-\frac{2y}{x}+y^2=(x-\frac{1}{x})^2+2-2y(x-\frac{1}{x})+y^2+y^2=(x-\frac{1}{x}-y)^2+y^2+2 \)
當\( x=\pm 1,y=0 \)時有最小值2
103.4.21補充
感謝Superconan指正，這是計算3
計算3.
(1)如下圖，\( \overline{AE}=4 \)，\( \overline{AD}=2 \)，\( \overline{AB}=3 \)，\( \overline{AE} \)中有一點Q使\( \overline{AQ}:\overline{QE}=3:1 \)，且P為\( \overline{CG} \)中點，問平面BPQ在此長方體的截痕為幾邊形？
(2)同上題，以兩種方法解說給學生聽。
(3)求平面BPQ把此長方體截成兩半後，較小那塊之體積。
[attach]2111[/attach]
[解答]
(1)五邊形
(2)除了坐標化的方法外也可以將長方體展開，\( \overline{BP} \)交\( \overline{GH} \)於I，\( \overline{BQ} \)交\( \overline{HE}\)於J，故BPIJQ為五邊形
(3)
感謝linteacher提供想法[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3269&start=20[/url]
較大塊體積=最大的四面體-3個小四面體\( \displaystyle =\frac{1}{6}(5^3-1^3-2^3-3^3)=\frac{89}{6} \)
較小塊體積=長方體-較大塊體積\( \displaystyle =2 \times 3 \times 4-\frac{89}{6}=\frac{55}{6} \)
[attach]2114[/attach]
103.75補充
計算4.
□□□□□□□□□□ 十個格子塗紅、黃、綠三色，相鄰不同色
(1) 若第1格和第10格不同色，方法數為何？
(2) 若第1、5、10都不同色，方法數為何？
以下的題目取自凡異出版社出版的"遞歸數列"一書中第149頁練習五
6.
考慮一個\( 1 \times n \)格棋盤，假定我們對棋盤的每個方格用紅、藍兩種顏色著色，相鄰兩格不能著紅色。令\( a_n \)表示沒有任何兩個相鄰的方格著紅色的著色個數。試建立\( a_n \)所滿足的遞歸方程，並求出\( a_n \)的表達式。
[解答]
若第一格著的是藍色，那麼餘下的\( (n-1) \)格符合題意的著色方法有\( a_{n-1} \)種，若第一格著的是紅色，那麼第二格只能著藍色，餘下的\( (n-2) \)格符合題意的著色方法有\( a_{n-2} \)個，所以\( a_n=a_{n-1}+a_{n-2} \)。
7.
考慮一個\( 1 \times n \)格棋盤，使用m種顏色的全部或其中幾種顏色將這棋盤著色，並且：一、相鄰兩格顏色要不同；二、相鄰兩格及兩端的兩格也要著成不同的顏色。並設一、二的著色方法數分別為\( a_n \)與\( b_n \)，\( m \ge 3 \)。那麼：
(1)求\( b_2 \)，並用m、n表示\( a_n \)；
(2)當\( n \ge 3 \)時，求\( b_n \)，\( b_{n-1} \)與\( a_n \)之間的關係；
(3)用m,n表示\( b_n \)。
[解答]
(1)
第一格著色有m種方法，則第二格有\( m-1 \)種方法，所以兩端兩格的著色方法有\( b_2=m(m-1) \)種。
\( a_n =(m-1)a_{n-1} \)，\( a_1=m \)，\( a_n=m(m-1)^{n-1} \)。
(2)
對於(1)中的\( a_n \)，它的兩端有兩種可能性：第一種是兩端不同的顏色，所以應有\( b_n \)種方法；第二種是兩端著相同的顏色，那麼它相當於\( (n-1) \)格的兩端著不同的顏色的情況，即有\( b_{n-1} \)種方法，所以\( a_n=b_n+b_{n-1} \)。
(3)
\( b_n+b_{n-1}=m(m-1)^{n-1} \)
使用待定係數法設\( b_n-km(m-1)^n=(-1) \cdot [b_{n-1}-km(m-1)^{n-1}] \)
移項得\( b_n+b_{n-1}=km(m-1)^n+km(m-1)^{n-1} \)
和原式比較係數得\( m(m-1)^{n-1}=km(m-1)^n+km(m-1)^{n-1} \)，得\( \displaystyle k=\frac{1}{m} \)
\( b_n-(m-1)^n=(-1)^1[b_{n-1}-(m-1)^{n-1}]=(-1)^2[b_{n-2}-(m-1)^{n-2}]=\ldots=(-1)^{n-2}[b_2-(m-1)^2] \)
將\( b_2=m(m-1) \)代入
\( b_n-(m-1)^n=(-1)^{n-2}[m(m-1)-(m-1)^2]=(m-1)(-1)^{n-2} \)
\( b_n=(m-1)(-1)^{n-2}+(m-1)^n \)
將\( (-1)^{n-2} \)改成\( (-1)^n \)和\( (m-1)^n \)次方一致
得\( b_n=(m-1)(-1)^n+(m-1)^n \)
計算5.
有一線段交x軸於\( (t,0) \)，交y軸於\( (0,1-t) \)，\( 0 \le t \le 1 \)，求此線段形成的圖形與x、y軸圍成區域的面積。
[解答]
[url]http://140.122.140.2/~cyc/m1117.doc[/url]
我是參考陳創義老師在第一頁的結論
包絡線\( \alpha(\lambda)=(x(\lambda),y(\lambda)) \)滿足
\( \displaystyle \Bigg\{\; \matrix{F(x(\lambda),y(\lambda),\lambda)=0 \cr F_{\lambda}(x(\lambda),y(\lambda),\lambda)=0} \)
\( \overline{AB} \)的直線方程式為\( \displaystyle y=\frac{t-1}{t}x+1-t \)，令\( \displaystyle F=x-\frac{x}{t}-y+1-t=0 \)
F函數對t微分，\( \displaystyle F_t=\frac{x}{t^2}-1=0 \) ， \( t=\pm \sqrt{x} \)(負不合)
\( t=\sqrt{x} \)代入F函數
\( x-\frac{x}{\sqrt{x}}-y+1-\sqrt{x}=0 \) ， \( (\sqrt{x}-1)^2=(\pm \sqrt{y})^2 \) ， 取第一象限的\( \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 \)
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-7-5 10:20 AM 編輯 [/i]]