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人的學問,由好問而來。

anson721 發表於 2014-4-16 00:37

不等式證明

抱歉圖檔無法插入

三角形ABC為非等腰之三角形,請證明
a^3/((a-b)(a-c))+b^3/((b-c)(b-a))+c^3/((c-a)(c-b))
大於等於2×27^(1/4)×(三角形面積)^1/2

Pacers31 發表於 2014-4-16 08:54

回復 1# anson721 的帖子

利用 \(\displaystyle \frac{1}{(a-b)(a-c)}+\frac{1}{(b-c)(b-a)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)}=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}\)

\(\displaystyle =\frac{a^3}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^3}{(b-c)(b-a)}-\frac{c^3}{(a-b)(a-c)}-\frac{c^3}{(b-c)(b-a)}\)   (一三項合併、二四項合併、自然分解約分後再合併)

\(=a+b+c=2s\)

原命題即證 \(2s\geq 2\sqrt[4]{27s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{s}{3}\geq \sqrt[3]{(s-a)(s-b)(s-c)}\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{(s-a)+(s-b)+(s-c)}{3}\geq \sqrt[3]{(s-a)(s-b)(s-c)}\)

而最後一式可由算幾不等式說明成立!

[[i] 本帖最後由 Pacers31 於 2014-4-16 09:11 AM 編輯 [/i]]

anson721 發表於 2014-4-16 16:08

懂了,大大你超強的!
謝謝你^^

Pacers31 發表於 2014-4-17 00:24

回復 3# anson721 的帖子

千萬別這麼說,我一點也不強... 尤其是在教甄筆試考場 (囧

這也是我從 Math Pro 這裡和板上各高手學來的,並不是我自己想到的方法

而且一看到題目,我腦中只有浮現這個解法,也沒有其他想法了...

類題可參考102中正 [url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1576&page=1#pid7882[/url]

分子的次數還可以考2次,3次,4次 ... 2次比較好玩,可以利用多項式的相等來解!

[[i] 本帖最後由 Pacers31 於 2014-4-17 12:33 AM 編輯 [/i]]

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