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fuzzydog 發表於 2014-4-12 22:11

請教一題拋物線問題

如附件這題我覺得有點像93年的學測題,但我做到後面卡住了,所以想請教老師們是不是我方法用錯,或是漏了哪一個性質。

weiye 發表於 2014-4-12 22:30

回復 1# fuzzydog 的帖子

縱坐標是 \(y\) 坐標,

若令 \(A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)\)

則 \(\displaystyle\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{15}{2}\)

\(\Rightarrow y_1+y_2=15\)

所求=\(15+2\times3=21.\)

weiye 發表於 2014-4-12 23:01

回復 2# weiye 的帖子

若題目真的把 "縱坐標" 改成 "橫坐標"

可由 \(x_1^2=12y_1\) 與 \(x_2^2=12y_2\)

兩式相減,搭配 \(\displaystyle\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{15}{2}\)

可得 直線 \(AB\) 斜率 \(\displaystyle=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{5}{4}\),

令 \(\displaystyle t=\frac{y_1+y_2}{2}\)

進而得直線方程式為 \(\displaystyle y-t=\frac{4}{3}\left(x-\frac{15}{2}\right)\)

將 \(\displaystyle y=\frac{1}{12}x^2\) 帶入,整理得 \(x^2-16x-12t+120=0\)

(因為直線與拋物線有兩交點)由判別式\(>0\),可得 \(\displaystyle t>\frac{4}{3}\)

可得任意 \(\displaystyle t>\frac{4}{3}\) 對應之直線 \(\displaystyle y-t=\frac{4}{3}\left(x-\frac{15}{2}\right)\) (平行直線系)

其與拋物線所截的(平行)弦的中點 \(x\) 坐標皆為 \(\displaystyle \frac{15}{2}\)

且 \(\displaystyle\overline{AF}+\overline{BF}=2t+6>\frac{26}{3}\),即 \(\displaystyle\overline{AF}+\overline{BF}\) 的最大下界是 \(\displaystyle\frac{26}{3}\)

ps. 當 \(\displaystyle t=\frac{4}{3}\),沒有弦,\(A\) 與 \(B\) 重合,是切點,上述中那條直線會是切線。\(\displaystyle\overline{AF}+\overline{BF}\) 沒有最小值。

fuzzydog 發表於 2014-4-12 23:12

回復 3# weiye 的帖子

不好意思,原來我把題目看錯了,感謝 weiye 老師兩種情況都解釋了。

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