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fuzzydog 發表於 2014-3-26 10:34

請教一題根號問題

想請教老師根號題目,如附件,感覺像是要考數與式的乘法公式運用,不知道怎用,所以我直接用直式開根號算,不曉得有沒比較好的方式。

1.
下列何值最接近\( \sqrt{37}-\sqrt{35} \)
(A)0.15 (B)0.16 (C)0.17 (D)0.18 (E)0.19
Ans:B

tsusy 發表於 2014-3-26 11:40

回復 1# fuzzydog 的帖子

\( \displaystyle \sqrt{37} - \sqrt{35} = \frac2{\sqrt{37}+\sqrt{35}} \)

fuzzydog 發表於 2014-3-26 14:58

回復 2# tsusy 的帖子

利用乘法公式(a-b)(a+b)改寫成分子為整數,所以還是要十分逼近法估計根號37和根號35嗎?我不太了解老師您的意思,謝謝囉!

thepiano 發表於 2014-3-26 15:22

寸絲兄應是要您取近似值求 2/(6 + 6)

不過此題答案應比較接近 0.17

Ellipse 發表於 2014-3-26 19:58

[quote]原帖由 [i]fuzzydog[/i] 於 2014-3-26 10:34 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=9749&ptid=1833][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教老師根號題目,如附件,感覺像是要考數與式的乘法公式運用,不知道怎用,所以我直接用直式開根號算,不曉得有沒比較好的方式。 [/quote]
令y=√x ,  A(37,√37)  B(35, √35)  C(36,√36)
先看(√37 -√35)/(37-35)=(√37 -√35)/2這個值
表示求AB的斜率值
但其實求過C點對y=√x所做的切線斜率值----------(*)
也會很靠近AB的斜率值
(*)的值為 y' = (1/2)*x^(-1/2)  | x=36  
=(1/2)*(1/6)=1/12約0.0833333
所求(√37 -√35)之值會靠近2*(0.0833333)=0.166667
用Mathematica計算(√37 -√35)真正之值約0.166683

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-3-26 08:07 PM 編輯 [/i]]

tsusy 發表於 2014-3-26 23:09

回復 4# thepiano 的帖子

我本來的想法的確是如此,不過後來想想,其實各個選項很接近,而且實際值如 橢圓兄給 1.66...

誤差如果沒有控制好的話,有可能就估錯了。所以無聊改良一下,順帶估一下範圍

\( (\sqrt{37}+\sqrt{35})^{2}=2(36+\sqrt{36^{2}-1})<144
  \Rightarrow\frac{\sqrt{37}+\sqrt{35}}{2}<6
  \Rightarrow
\frac{2}{\sqrt{35}+\sqrt{37}}>\frac{1}{6}>0.165 \)。

另一邊的估計則是 \( (\frac{2}{\sqrt{35}+\sqrt{37}})^{2}<\frac{1}{35}<0.0289=(0.17)^{2} \) ,故.\( 0.165<\frac{2}{\sqrt{35}+\sqrt{37}}<0.17 \)。

[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-29 02:13 PM 編輯 [/i]]

thepiano 發表於 2014-3-27 07:02

寸絲兄估得很漂亮
ellipse 兄的方法也讓小弟大開眼界

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-3-27 08:07 AM 編輯 [/i]]

tsusy 發表於 2014-3-27 08:00

回復 7# thepiano 的帖子

對,謝謝。這個估計其實是看到 #3 fuzzydog 說到不想估 √,而想到的

有趣的是,下界那邊必須用 \( \frac{1}{6} \) 才夠準,如果用 \( \frac{1}{\sqrt{37}} \) 會不夠準,無法判斷。

不過從橢圓兄算出來的數字是這麼準來看,我的估計和擔心根本是多餘的。

fuzzydog 發表於 2014-3-27 15:05

我看懂了,謝謝囉!感謝寸絲老師和ellipse老師們提供\( \displaystyle \sqrt{37} - \displaystyle \sqrt{35} \)不一樣的解法。

Ellipse 發表於 2014-3-27 21:31

這題用微分方法可以精準到至少小數點以下第二位
改題目亦可這樣做
[color=Red]題型是√(n+1)-√(n-1) ,其中n為完全平方數[/color](才比較好估)        
√5-√3        用1/√4 估  兩者相差約  0.00401717
√10-√8      用1/√9 估  兩者相差約  0.000517202
√17-√15   用1/√16 估  兩者相差約  0.000122279
√26-√24   用1/√25 估  兩者相差約  0.000040028
√37-√35   用1/√36 估  兩者相差約  0.0000160805
√50-√48   用1/√49 估  兩者相差約 7.438732823494831*10^(-6)
......
後面誤差會越來越小~

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-3-27 09:43 PM 編輯 [/i]]

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