Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » III：平面坐標與向量 » 求三角形面積

Amis 發表於 2014-3-23 17:55

求三角形面積

[attach]2060[/attach]

如圖，給一個角度45度，還有對面的邊長被分成3跟2，要求面積？
能否有國中程度的解法？

tsusy 發表於 2014-3-23 18:22

回復 1# Amis 的帖子

條件不足，漏掉了 \( 45^\circ \) 角被平分(?猜?)

weiye 發表於 2014-3-23 18:28

回復 1# Amis 的帖子

面積不唯一，

如附圖的三個三角形就等底、不同高，面積相異。

[attach]2058[/attach]

Amis 發表於 2014-3-23 18:50

我也是認為條件給不足，可是老師就直接出這題，說是挑戰題！
謝謝解惑～

weiye 發表於 2014-3-23 19:00

回復 1# Amis 的帖子

如果中間那條是角平分線的話....

題目：如圖，在 \(\triangle APB\) 中，已知 \(\angle APB=45^\circ\)，\(\overline{AC}=3, \overline{CB}=2\)，\(\overline{PC}\) 平分 \(\angle APB\)，求 \(\triangle APB\) 面積之值。

[attach]2059[/attach]

解答：

因為 \(\overline{PC}\) 平分 \(\angle APB\)，所以 \(\overline{AP}:\overline{BP}=\overline{AC}:\overline{CB}=3:2\)

令 \(\overline{AP}=3x, \overline{BP}=2x\) ，其中 \(t\in\mathbb{R^+}\)

在 在 \(\triangle APB\) 中，由餘弦定理，可得 \(5^2=\left(3x\right)^2+\left(2x\right)^2-2\cdot\left(3x\right)\left(2x\right)\cos45^\circ\)

\(\displaystyle \Rightarrow x^2=\frac{25\left(13+6\sqrt{2}\right)}{97}\)

\(\displaystyle \triangle APB \mbox{ 面積 }=\frac{1}{2}\cdot 3x\cdot 2x\cdot \sin45^\circ=\frac{75\left(12+13\sqrt{2}\right)}{194}\)

Ellipse 發表於 2014-3-24 21:37

回復 5# weiye 的帖子

最後答案應是75(13√2+12)/194
(感謝weiye兄提醒,我也誤打了~~)

這題也可用國中的畢氏定理來做

過B點作AP的垂直線交AP於D點
令PA=3t , PB=2t--------(1)
(角平分線性質)
令BD=h ,則PD=h ,PB=√2*h---------(2)
AD=3t-h ,且由(1)&(2)知t=√2*h /2
所以AD=(3√2 /2 -1 )h
在直角三角形ADB中 , h²+[(3√2 /2 -1 )h]²=5²
整理得h²=50(13+6√2)/97
所求三角形APB面積=h*3t/2 =3√2*h² / 4
=75(13√2+12)/194

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-3-25 02:10 PM 編輯 [/i]]

weiye 發表於 2014-3-24 21:40

回復 6# Ellipse 的帖子

copy 上一行的分數，沒改到數字，感謝。（即刻修正！:D）

Ellipse 發表於 2014-3-24 22:30

補充一下內角平分線長公式
如上圖:
[color=Red]PC^2=PA*PB-CA*CB[/color]
這個證明教甄有可能會考(有時會要你用幾種方式證明)
大家來練習一下,請各位網友po出一些不同方式證法
小弟今天監考無聊,有想到三種方式證明

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-3-25 10:27 AM 編輯 [/i]]

Ellipse 發表於 2014-3-25 10:51

先改成一般題型:
在三角形ABC中,角A的內角平分線交BC於P點
若PB=m,PC=n ,試證AP^2=AB*AC-PB*PC

[color=Red]法1:利用餘弦定理
[/color]假設∠BPA=θ,則∠CPA=π-θ
令AB=mt,AC=nt ,t>0 (角平分線性質)
且令AP=x>0
由餘弦定理得
cosθ=[m²+x²-(mt)²] / (2mx)--------------(1)
cos(π-θ)= - cosθ=[(nt)²-x²-n²] / (2nx)---------------(2)
由(1)&(2)合併得
(n+m)x²=nm(n+m)*t² -nm(n+m)
x²=nm*t² -nm=(mt)*(nt)-m*n=AB*AC-PB*PC

[color=Red]法2:利用面積相等
[/color]令∠BAP=∠PAC=α
△ABC面積=△ABP面積+△PAC面積
(1/2)(mt)(nt)*sin(2α)=(1/2)(mt)x*sinα+(1/2)(nt)x*sinα--------(i)
將sin(2α)=2sinα*cosα代入(i),整理得
2mnt*cosα=x(m+n)------------------(ii)
將cosα=[(mt)²+x²-m²] /(2mtx)代入(ii)
整理得x²*(m+n)=n*m² *t² +n*x²-n*m²
x²=nm*t²-nm=AB*AC-PB*PC

[color=Red]法3:利用向量方式[/color]
向量AP=[n/(m+n)]*向量AB+[m/(m+n)]*向量AC
AP²=[n/(m+n)]² * (mt)² +[m/(m+n)]² * (nt)²+ [2nm/(m+n)²]*向量AB‧向量AC------------(i)
又向量AB‧向量AC=AB*AC*cos(2α)
=[(mt)²+(nt)²-(m+n)²]/2 代入(i)
整理得x²=t² *nm[2nm+n²+m²]/ (n+m)² -nm
=nmt²-nm= AB*AC-PB*PC

法4:幾何作圖法
待有緣人士來解~~

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-3-25 02:14 PM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2014-3-27 19:13

法4:幾何法

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