99台灣師大教師在職進修碩士學位班
麻煩有空的大大解答一下[size=5]1.[/size]
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103.3.13補充
將題目重新打字，將來搜尋才找得到題目
1.設a,b,c為三角形之三邊長，\( \displaystyle s=\frac{a+b+c}{2} \)，r是三角形之內切圓半徑。試證：\( \displaystyle \frac{1}{(s-a)^2}+\frac{1}{(s-b)^2}+\frac{1}{(s-c)^2}\ge \frac{1}{r^2} \)。
2.試證函數圖形\( y=x^3+3x^2+2x+1 \)有一個點對稱中心，並求其對稱中心。
3.在坐標平面上，從第1點\( (0,0) \)開始到第2點\( (1,0) \)，再到第3點\( (1,1) \)，再到第4點\( (0,1) \)，再到第5點\( (-1,1) \)，再到第6點\( (-1,0) \)，…。依逆時針方向環繞坐標平面上的整數格子點，每次走一單位，只能前進或左轉且不重複，也不遺落任何整數格子點。試求：
(1)第100點的坐標。
(2)第1000點的坐標。
(3)第k點的坐標。(以k表之)
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找出圖形的規律[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274[/url]
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-3-13 06:55 PM 編輯 [/i]]
回復 1# sherlock 的帖子
先補個出處： 99台灣師大教師在職進修碩士學位班考題 [url]http://www.lib.ntnu.edu.tw/announce/exam.jsp?id=EE5FB534-728A-7375-D15B-D5FBD7D4801E[/url]有空再來解。
回復 2# weiye 的帖子
第 1 題：請見 [url]https://math.pro/db/thread-677-1-1.html[/url]第 2 題：（題目要我們證明存在且唯一，那我就先假裝不知道三次函數的反曲點就是對稱中心點囉。ＸＤＤ）
令 \(f(x)=x^3+3x^2+2x+1\)
若 \((h,k)\) 是 \(y=f(x)\) 圖形的對稱中心點，則 \(y=f(x)\) 且\(2k-y=f(2h-x)\) 對任意 \(x\in\mathbb{R}\) 恆成立
將兩式相加，化簡後可得 \(2k=6\left(h+1\right)\left(x+h\right)^2+2h\left(h+1\right)\left(h+2\right)+2\)
因為上式對任意 \(x\in\mathbb{R}\) 恆成立，
所以 \(h=-1\)，進而得 \(k=1\)
故，\(y=f(x)\) 僅有一個對稱中心點 \(\left(-1,1\right).\)
回復 2# weiye 的帖子
1. 見 [url]https://math.pro/db/thread-677-1-1.html[/url]2. 二次微分，求反曲點 \( (a,y_a) \)，證明： 把 \( y \) 改寫成 \( x-a \) 的多項式
3. (1) 原點的右下方移動，依次是第 \( 3^2, 5^2, 7^2, ... \) 個點，\( 100 = 121 - 10 - 10 -1\)
故其坐標為 \( (5-10+1,-5+10) = (-4,5) \)
\( 1000 = 31^2 + 39 \) 由此可推第1000點
(3) 對 \(k\) 的位置做分段，分段的點，可選擇在四個角落較方便
四個角落，右下角為第 \( n^2 \) 個點，左下角為 \( n^2 - (n-1) \) 左上角為 \( n^2 - 2(n-1) \) 左上角為 \( n^2 - 3(n-1) \)，其中 n 為奇數
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-3-14 01:14 PM 編輯 [/i]]
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