2題數學
向大家請教一下這2題該如何解?謝謝
1.建中通訊解題第60期第2題
[url]http://math1.ck.tp.edu.tw/%B3q%B0T%B8%D1%C3D/doc/answer60.doc[/url]
2.已知 \(x,y\) 是實數，且\( \displaystyle \cases{(x-11)^5+15(x-11)=5 \cr (y-4)^5+15(y-4)=-5} \)，則\( x+y= \)？
weiye 註：感謝 bugmens 協助找出第一題的題目出處，並且將第二題重新打字。故，由 weiye 刪除原題附加檔案。
回復 1# 阿良 的帖子
第 1 題延伸各邊長，可將此多邊形切成很多平行四邊形及一個正三角形，
不難解出各平行四邊形及一個正三角形的面積。
第 2 題：
令 \(f(x)=x^5+15x+c\)，其中 \(c\) 為實數，
由 \(f\,'(x)=5x^4+15>0\) （\(\forall x\in\mathbb{R}\)）恆成立，
可知 \(f(x)=0\) 恰只有一實根。
再搭配題述，可知 \(x-11\) 與 \(y-4\) 互為相反數，
故， \(\left(x-11\right)+\left(y-4\right)=0\Rightarrow x+y=15.\)
第二題
我看不太懂第二題請問可以詳加解釋嗎?
回復 3# 阿良 的帖子
第 2 題，換個方式說明。令 \(a=x-11\), \(b=y-4\) （因為 \(x,y\) 都是實數，所以 \(a,b\) 也都是實數）
可得 \(a^5+15a-5=0\) 且 \(b^5+15b+5=0\)
將第二式稍微整理一下，
\(b^5+15b+5=0\Rightarrow -b^5-15b-5=0\Rightarrow \left(-b\right)^5+15\left(-b\right)-5=0\)
也就是 \(a\) 與 \(-b\) 都會是 \(t\) 的方程式「\(t^5+15t-5=0\) 」的實根耶！
如果可以說明 \(t^5+15t-5=0\) 也就只有一個實根而已，那就可以得到 \(a=-b\) 了。
所以下面來說明為什麼 \(t^5+15t-5=0\) 也就只有一個實根。
若 \(p,q\) 都是 \(t^5+15t-5=0\) 的實根，且 \(p\neq q\)
因為 \(p\neq q\)，所以 必有 \(p>q\) 或 \(p<q\) 其中一個，
不失一般性可以假設 \(p>q\)（"不失一般性"也就表示若 \(p<q\) 也可以用同樣方法處理之）
則 \(p^5>q^5\) 且 \(15p>15q\)
\(\Rightarrow p^5+15p>q^5+15q\Rightarrow p^5+15p-15 = q^5+15q-15\)
但是因為 \(p,q\) 都是 \(t\) 的方程式「\(t^5+15t-5=0\) 」的實根，也就是說 \(p^5+15p-15=0\) 且 \(q^5+15q-15=0\)
因此，帶入 \(p^5+15p-15 > q^5+15q-15\) 會得到 \(0>0\)
這顯然是矛盾的。
可是上面的推論都很合理呀，所以是哪裡錯了導致矛盾發生了，
就是我們一開始假設的 \(p>q\) 錯了，
同上面的手法，可以說明 \(p<q\) 也會是錯的，
因此 \(p=q\)
也就是 \(t\) 的方程式「\(t^5+15t-5=0\) 」不會有不一樣的實根（即，不會有「相異的」實根），
也就是 \(t\) 的方程式「\(t^5+15t-5=0\) 」如果有兩個實數都是它的根，那這兩個數必定相等。
回到剛剛的主題，
因為 \(a\) 與 \(-b\) 都會是 \(t\) 的方程式「\(t^5+15t-5=0\) 」的實根，
且 \(t\) 的方程式「\(t^5+15t-5=0\) 」不會有不一樣的實根，
也就是 \(a\) 一定要與 \(-b\) 相等，
\(\Rightarrow a=-b\Rightarrow a+b=0\Rightarrow \left(x-11\right)+\left(y-4\right)=0\Rightarrow x+y=15\) <很謝謝weiye老師的詳盡解答，為小弟解惑>
[[i] 本帖最後由 阿良 於 2014-3-15 09:41 PM 編輯 [/i]]
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