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不懂就要問,
想保住面子的人,
最後連裡子也會輸掉。

fuzzydog 發表於 2014-2-23 23:39

請教三題高中數學

想請教老師們三題,如附件
4.
若直線\(L\):\(4x-3y+1=0\)與一圓\(C\):\(x^2+y^2-4x-5=0\)交於\(A,B\)二點,又圓\(C\)外另一點\(P(-2,7)\),求\(\Delta ABP\)外接圓的面積=[u]   [/u]。
\(Ans\):\(\displaystyle \frac{675\pi}{484}\)

10.
投擲一個公正骰子四次,其點數和為10的機率=[u]   [/u]。

12.
有10位同學,數學平均分數為60分,樣本標準差為4分,已知10人中8人得分為54,56,57,58,60,61,64,65,則另二人的得分為[u]   [/u]。
(\(n\)個抽樣數值\(x_1,x_2,\ldots,x_n\)的樣本標準差公式為\(S=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}\),而\(\displaystyle \overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i)\)

4.外接圓的面積
(求出三點坐標,其中一點數字很醜,想利用中垂線解外心坐標,再求出半徑=到三點距離,算出答案還是怪怪的)
10.骰子點數和
(不曉得有沒有比較有系統的討論)
12.統計標準差問題
(設一人\(x\)分,另一人\(125-x\),求一元二次方程式就卡住了)

tsusy 發表於 2014-2-24 00:10

回復 1# fuzzydog 的帖子

4. 利用圓系,假設外接圓方程式 \( x^{2}+y^{2}-4x-5+k(4x-3y+1)=0 \)

由 \( P(-2,7) \) 可得 \( k = 2 \) 而得外接圓之方程式為 \( (x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16 \)

故該圓面積為 \( 16\pi \),與所給的答案不相同

另外可證解得 A, B 兩點為 \( (2,3), (-\frac{22}{25},-\frac{21}{25}) \) (可檢驗外接圓沒算錯)

所以答案可能給錯了?不然就是題目打錯數字

12. 是因為 \( x \) 太大,不好因式分解吧?那就公式解或者改令 \( y = x-60 \)

10. \( x+y+z+w = 10 \) 的正整數解有 \( H^4_6 =84 \) 組,其中 (7,1,1,1) 及其排列四組不合

故所求 \( = \frac{80}{6^{4}}=\frac{5}{81} \)

[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-2-24 08:27 AM 編輯 [/i]]

weiye 發表於 2014-2-24 08:28

回復 1# fuzzydog 的帖子

10.

若四次點數分別為 \(x_1,x_2,x_3,x_4\),則

\(x_1+x_2+x_3+x_4=10\)

其中,\(x_1,x_2,x_3,x_4\in\left\{1,2,3,4,5,6\right\}\)

(另一個觀點是轉換為 \(\left(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6\right)^4\) 展開之後的 \(x^{10}\) 的次方數 )

有序數組 \((x_1,x_2,x_3,x_4)\) 的整數解的組數為 \(H_{6}^4-C^4_1H_0^1=80\)

所求 = \(\displaystyle \frac{80}{6^4}=\frac{5}{81}\)


12.

將十位同學的成績都減去 60 分之後,設另兩位不知道分數的同學的成績會變為 \(a,b\)



\(a+b+(-6)+(-4)+(-3)+(-2)+0+1+4+5=0\)

且 \(a^2+b^2+(-6)^2+(-4)^2+(-3)^2+(-2)^2+0^2+1^2+4^2+5^2=9\cdot\left(0^2+4^2\right)\)

兩者解聯立方程式可得 \((a,b)=(6,-1)\) 或 \((-1,6)\)

故,另兩位同學的原始成績為 \(66\) 與 \(59\) 分。

fuzzydog 發表於 2014-2-24 09:48

回復 2# tsusy 的帖子

謝謝老師您的提醒,可以用圓系解就快多了。

fuzzydog 發表於 2014-2-24 09:50

回復 3# weiye 的帖子

謝謝老師提供另外解法。
12題的確,直接另兩個未知數先扣掉平均解就變得很容易,不用刻意降低未知數。

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