請教三題高中數學
想請教老師們三題，如附件4.
若直線\(L\)：\(4x-3y+1=0\)與一圓\(C\)：\(x^2+y^2-4x-5=0\)交於\(A,B\)二點，又圓\(C\)外另一點\(P(-2,7)\)，求\(\Delta ABP\)外接圓的面積=[u] [/u]。
\(Ans\)：\(\displaystyle \frac{675\pi}{484}\)
10.
投擲一個公正骰子四次，其點數和為10的機率=[u] [/u]。
12.
有10位同學，數學平均分數為60分，樣本標準差為4分，已知10人中8人得分為54，56，57，58，60，61，64，65，則另二人的得分為[u] [/u]。
(\(n\)個抽樣數值\(x_1,x_2,\ldots,x_n\)的樣本標準差公式為\(S=\sqrt{\displaystyle \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}\)，而\(\displaystyle \overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i)\)
4.外接圓的面積
(求出三點坐標，其中一點數字很醜，想利用中垂線解外心坐標，再求出半徑=到三點距離，算出答案還是怪怪的)
10.骰子點數和
(不曉得有沒有比較有系統的討論)
12.統計標準差問題
(設一人\(x\)分，另一人\(125-x\)，求一元二次方程式就卡住了)
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4. 利用圓系，假設外接圓方程式 \( x^{2}+y^{2}-4x-5+k(4x-3y+1)=0 \)由 \( P(-2,7) \) 可得 \( k = 2 \) 而得外接圓之方程式為 \( (x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16 \)
故該圓面積為 \( 16\pi \)，與所給的答案不相同
另外可證解得 A, B 兩點為 \( (2,3), (-\frac{22}{25},-\frac{21}{25}) \) (可檢驗外接圓沒算錯)
所以答案可能給錯了？不然就是題目打錯數字
12. 是因為 \( x \) 太大，不好因式分解吧？那就公式解或者改令 \( y = x-60 \)
10. \( x+y+z+w = 10 \) 的正整數解有 \( H^4_6 =84 \) 組，其中 (7,1,1,1) 及其排列四組不合
故所求 \( = \frac{80}{6^{4}}=\frac{5}{81} \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-2-24 08:27 AM 編輯 [/i]]
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10.若四次點數分別為 \(x_1,x_2,x_3,x_4\)，則
\(x_1+x_2+x_3+x_4=10\)
其中，\(x_1,x_2,x_3,x_4\in\left\{1,2,3,4,5,6\right\}\)
（另一個觀點是轉換為 \(\left(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6\right)^4\) 展開之後的 \(x^{10}\) 的次方數 ）
有序數組 \((x_1,x_2,x_3,x_4)\) 的整數解的組數為 \(H_{6}^4-C^4_1H_0^1=80\)
所求 ＝ \(\displaystyle \frac{80}{6^4}=\frac{5}{81}\)
12.
將十位同學的成績都減去 60 分之後，設另兩位不知道分數的同學的成績會變為 \(a,b\)
則
\(a+b+(-6)+(-4)+(-3)+(-2)+0+1+4+5=0\)
且 \(a^2+b^2+(-6)^2+(-4)^2+(-3)^2+(-2)^2+0^2+1^2+4^2+5^2=9\cdot\left(0^2+4^2\right)\)
兩者解聯立方程式可得 \((a,b)=(6,-1)\) 或 \((-1,6)\)
故，另兩位同學的原始成績為 \(66\) 與 \(59\) 分。
回復 2# tsusy 的帖子
謝謝老師您的提醒，可以用圓系解就快多了。回復 3# weiye 的帖子
謝謝老師提供另外解法。12題的確，直接另兩個未知數先扣掉平均解就變得很容易，不用刻意降低未知數。
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