Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 101台南女中資優班成就測驗

ycdye 發表於 2014-2-21 13:30

101台南女中資優班成就測驗

各位老師好，
想請問一下附件的這三題大概能用國中哪一個章節的幾何概念去思考？
像第23題三角形ADC不曉得是要用圓(截等弧)還是比例式，可以看出來，
第24題用比例或用三心好像也看不太出來，
煩請老師們指點一下，謝謝。

103.3.13補充
題目出處
[url]http://www.tngs.tn.edu.tw/departments/shiwu/dirlisting1.asp?Dir=10100\[/url]

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-3-13 07:32 PM 編輯 [/i]]

thepiano 發表於 2014-2-21 14:46

第 23 題
易知 AC = 12
作 AE 垂直 BC 於 E，AF 垂直直線 CD 於 F
△AEC 和 △AFC 全等

AF = AE = 60/13
CF = CE = 144/13
DF = 25/13
CD = 119/13

ABCD = △ABC + △ADC = 5 * 12 * (1/2) + (119/13) * (60/13) * (1/2) = 8640/169

thepiano 發表於 2014-2-21 16:24

第 24 題
作 EP 垂直 AD 於 P，FQ 垂直 AD 於 Q
則 AP = PQ = QD = (2/3)√3，EP = 2/3，FQ = 4/3

PG/DG = EP/BD = 1/3
PG = (1/4)DP = (1/3)√3
AG = √3

QH/DH = FQ/BD = 2/3
DH = (3/5)QD = (2/5)√3

AG：GH：DH = 5：3：2

△BGH = (3/10)△ABD = (3/20)△ABC
EFHG = (1/3)△ABC - (3/20)△ABC = (11/60)△ABC = (11/15)√3


國中的方法，不簡單啊 ......

thepiano 發表於 2014-2-21 17:24

第 21 題
∠DAF + ∠BAE = ∠EAG + ∠GAF = 45 度
又 ∠BAE = ∠EAG
故 ∠DAF = ∠GAF
又 AD = AB = AG
△ADF 和 △AGF 全等 (SAS)

DF = GF = 3
令 AG = x
在 △CEF 中，CE^2 + CF^2 = EF^2
(x - 5)^2 + (x - 3)^2 = (5 + 3)^2
x = 4 + √31

△AEF = 4x = 16 + 4√31

Ellipse 發表於 2014-2-22 11:43

#24
早期國中教材有教過孟氏定理
不然也可用國中工具證出
(AF/FC)*(CB/BD)*(DH/HA)=1
(2/1)*(2/1)*(DH/HA)=1
DH/HA=1/4---------------(1)

(AE/EC)*(CB/BD)*(DG/GA)=1
(1/2)*(2/1)*(DG/GA)=1
DG/GA=1-------------(2)

由(1)&(2)得
AG:GH:HD=5:3:2
剩下就跟鋼琴兄一樣了~~

ycdye 發表於 2014-3-31 22:14

謝謝兩位老師的詳盡解答。：)

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