向量一題求解
題目：兩向量 \(\vec{a}, \vec{b}\)，\(\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|\neq0\)，且 \(\left|\vec{a}+\vec{b}\right|-\left|\vec{a}-\vec{b}\right|=2\left|\vec{a}\right|\)，求 \(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 的夾角為何？回復 1# anson721 的帖子
題目：兩向量 \(\vec{a}, \vec{b}\)，\(\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|\neq0\)，且 \(\left|\vec{a}+\vec{b}\right|-\left|\vec{a}-\vec{b}\right|=2\left|\vec{a}\right|\)，求 \(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 的夾角為何？解答： \(\left|\vec{a}+\vec{b}\right|-\left|\vec{a}-\vec{b}\right|=2\left|\vec{a}\right|\)
\(\Rightarrow \left|\vec{a}+\vec{b}\right|=2\left|\vec{a}\right|+\left|\vec{a}-\vec{b}\right|\)
\(\Rightarrow \left|2\vec{a}-\left(\vec{a}-\vec{b}\right)\right|=\left|2\vec{a}\right|+\left|\vec{a}-\vec{b}\right|\)
因為 \(\left|2\vec{a}-\left(\vec{a}-\vec{b}\right)\right|\leq\left|2\vec{a}\right|+\left|\vec{a}-\vec{b}\right|\)
所以當等號成立時， \(2\vec{a}\) 與 \(\vec{a}-\vec{b}\) 方向相反，或 \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{0}\)
case i: \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{0}\Rightarrow \vec{a}=\vec{b}\Rightarrow \vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 的夾角為 \(0^\circ\)
case ii: \(2\vec{a}\) 與 \(\vec{a}-\vec{b}\) 方向相反 \(\Rightarrow \vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 平行，
由 \(\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|\neq0\)，可知 \(\vec{a}=\vec{b}\) （同 case i ）或 \(\vec{b}=-\vec{a}\)
將 \(\vec{b}=-\vec{a}\) 帶入 \(\left|\vec{a}+\vec{b}\right|-\left|\vec{a}-\vec{b}\right|=2\left|\vec{a}\right|\) 檢查不合。
由 case i & ii ，可知 \(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 的夾角為 \(0^\circ\) 題目更改，有勞大大了＾＾
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