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ferng 發表於 2013-10-8 05:57

2013澳洲AMC

題目如下：
在一場曲棍球比賽中，如果在比賽中兩支交手球隊的進球數之差從未超過2
時，則稱這兩支球隊「實力相當」。若兩支球隊共進12 球且兩支球隊一直處
於「實力相當」的情況，請問整個球賽共有多少種不同可能的賽況？

在兩隊：7比5、6比6，及5比7等三種情形下，如何做不盡相異物排列？
麻煩各為前提點指導，謝謝！


102.10.9補充
題目下載
[url]http://www.chiuchang.org.tw/modules/news/article.php?storyid=496[/url]

ferng 發表於 2013-10-8 11:16

不好意思！
我想到用catalan number的方式，在7X5的路徑可求得243X2=486，在6X6的路徑可求得486，合計為972種方法。
請大家多多指教！

bugmens 發表於 2013-10-8 12:13

比賽過程比分的差距不能超過2分
所以棋盤格能走的只有中間部份而已
最後終點為\( (5,7),(6,6),(7,5) \)
答案\( 243+486+243=972 \)

ferng 發表於 2013-10-13 09:37

2013澳洲AMC第30題

麻煩各位先進幫忙；
這一題是2013澳洲AMC第30題：
在座標平面上，一個銳角三角形的三個頂點的座標都是不同的整數且沒有任
何一條邊與座標軸平行。若此三角形的面積為348 且其中一條邊的邊長為
29，請問另二條邊的邊長之乘積是多少？

想說和皮克公式有關嗎？但是不知如何計算內部點數？
請大家不吝指導，謝謝！

thepiano 發表於 2013-10-13 10:36

20^2 + 21^2 = 29^2

定坐標 A(1，0)，B(22，20)，C(a，b)

△ABC 面積 = (21b - 20a + 20)/2 = 348

a = (21b - 676)/20

易知 a = 4，b = 36

所求為 870

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2013-10-13 10:38 AM 編輯 [/i]]

tsusy 發表於 2013-10-13 10:57

回復 1# ferng 的帖子

邊長、格子點：\( x^{2}+y^{2}=29^{2} \) 之正整數解為 \( x=20,y=21 \) 或 \( x=21,y=20 \)

不失一般性(平移、對稱) 可假設，其中兩點坐標為 \( A(0,0),B(20,21) \)

由面積為 348，可知另一頂點 C 在 \( 21x-20y=\pm2\cdot348 \)

其整數解有 \( (x,y)=\pm(16+20n,-18+21n) \)，這些格子點兩兩對稱於 \( \overline{AB} \) 中點，與 A, B 所連成的三角形全等，

故僅需檢驗一組 \( (x,y)=(16+20n,-18+21n) \), n 太大或太小時，圖形上明顯 \( \angle A \) 或 \( \angle B \) 為鈍角，

故僅需檢驗 n=0,1 (其它圖一看，就鈍角)。兩者僅 \( C(36,3) \) 合，因此 \( \overline{AC}=\sqrt{36^{2}+3^{2}}=3\sqrt{145}
, \overline{BC}=\sqrt{16^{2}+18^{2}}=2\sqrt{145} \)，故所求 \( =6\cdot145=870 \)。

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