請教一題級數
證明Sigma {k=1 to n} (-1)^(k+1) * (1/k) * C(n,k) =1+1/2 +1/3+.......+1/n(其中C(n,k)為 n中取k的組合數)
這題有沒有比較快的證法,小弟用歸納法搞得很複雜~
回復 1# Ellipse 的帖子
好像在哪看過，直覺就是二項式定理\( \sum\limits _{k=0}^{n-1}(1+x)^{k}=\frac{(1+x)^{n}-1}{x}=\sum\limits _{k=1}^{n}C_{k}^{n}x^{k-1} \)，
積分得 \( \int\sum\limits _{k=0}^{n-1}(1+x)^{k}dx=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{k}C_{k}^{n}x^{k}+c \)
而得 \( \sum\limits _{k=0}^{n-1}\frac{1}{k+1}(1+x)^{k+1}=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{k}C_{k}^{n}x^{k}+c \)
\( x=0 \) 代入得 \( c=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{k} \),
\( x=-1 \) 代入得 \( \sum\limits _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\cdot\frac{C_{k}^{n}}{k}=c=\sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{k} \)
回復 2# tsusy 的帖子
漂亮!簡潔有力~感謝~
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