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Superman 發表於 2013-8-13 21:45

有理數、無理數

a、b都是有理數,且a^(1/5) 、 b^(1/5)都是無理數。
證明若a^(1/5) - b^(1/5) =有理數,則a=b。

tsusy 發表於 2013-8-28 21:58

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已知 \( a,b\in Q \) 且 \( a^{\frac{1}{5}},b^{\frac{1}{5}}\notin Q \)。令 \( t=b^{\frac{1}{5}} \)。

Claim1: \( x^{5}-b \) (在有理係數多項式中)是不可約多項式。

證:假設其可約,則為2次乘3次或1次乘4次,例後者表示 \( x^{5}=b \) 有有理根。

但 \( x^{5}=b \) 僅有 \( t \) 此無理實根,故不可能是1次乘4次。

因此 \( x^{5}-b \) 有一有理係數之二次因式,此二次因式之根為兩共軛虛根,

共此二次因此可能為 \( (x-t\omega)(x-\frac{t}{\omega}) \) 或 \( (x-t\omega^{2})(x-\frac{t}{\omega^{2}}) \),
其中 \( \omega=\cos\frac{2\pi}{5}+i\sin\frac{2\pi}{5} \)。

但此二者展開之常數分為 \( t^{2}=\sqrt[5]{b^{2}}\notin Q \),皆非有理係數多項式。

因此得 \( x^{5}-b \) (在有理係數多項式中)是不可約多項式。

Claim2: 若 \( a\neq b \),則存在一四次有理係數多項式 \( f(x) \) 使得 \( f(t)=0 \)。

證. 令 \( c=a^{\frac{1}{5}}-b^{\frac{1}{5}} \),則 \( a^{\frac{1}{5}}=c+t\Rightarrow5ct^{4}+10c^{2}t^{3}+10c^{3}t^{2}+5c^{4}t+c^{5}+b-a=0 \)。

若 \( c\neq0 \),則 \( f(x)=5cx^{4}+10c^{2}x^{3}+10c^{3}x^{2}+5c^{4}x+c^{5}+b-a \) 為一四次有理係數多項式滿足 \( f(t)=0 \)。


假設 \( a\neq b \),則有 \( x^{5}-b \) 和 \( f(x) \) 為兩有理係數多項式且有共根 \( t \)。

但前者不可約,後者之次數小於前者,故兩式互質(素),其最高公因式為常數,而無共根,與有共根 \( t \) 矛盾。故假設錯誤而得 \( a=b \)。

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證明證完了,但是還有兩件事要說:

第一 claim1 是一件無聊的事,應該有其它簡易的證法
第二 \( a^{\frac15} \) 也是無理數這件事沒有用到,自己想想為什麼可以不用到它吧

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