請教兩題圓錐曲線的題目
如題1.求點(-26,0)到sqrt(x)+sqrt(y)=4的最短距離
2.空間坐標系中,一平面E上有一橢圓,此橢圓兩焦點分別為A(2,0,3) , B(0,4,1)而C(2,3,-1)為橢圓上一點
且知平面E上過C之橢圓切線的方向向量為(1,a,b) , 求數對(a,b)
PS:不知哪一年哪一學校的考古題
昨天整理才被挖出來
請版上高手不吝指教
謝謝
暑安
回復 1# arend 的帖子
第 1 題：\(\displaystyle\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\)
\(\displaystyle\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{y}}\cdot\frac{dy}{dx}=0\)
\(\displaystyle\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\)
令 \((a,b)\) 為 \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\) 上的動點，
試解 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{cc}\displaystyle\left(-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\right)\cdot\frac{b-0}{a-\left(-26\right)}=-1\\ \sqrt{a}+\sqrt{b}=4\end{array}\right.\)
（可令 \(t=\sqrt{a}\)，最後會解得 \(\left(t-1\right)\left(t^2-5t+32\right)=0\)）
可得 \(a=1, b=9\)
因此，可得所求之最短距離為 \(\sqrt{\left(1-(-26)\right)^2+\left(9-0\right)^2}=9\sqrt{10}.\)
回復 1# arend 的帖子
第 2 題：由橢圓切線的光學性質，可知 \((1,a,b)\) 會平分 \(\vec{AC}\) 與 \(\vec{CB}\)（平移至始端相合之後）的夾角，
因此 \((1,a,b)\) 會平行 \(\displaystyle \frac{\vec{AC}}{\left|\vec{AC}\right|}+\frac{\vec{CB}}{\left|\vec{CB}\right|}=\frac{1}{5}(0,3,-4)+\frac{1}{3}(-2,1,2)=(\frac{-2}{3},\frac{14}{15},\frac{-2}{15})\)
可得 \(\displaystyle a=\frac{-7}{5}, b=\frac{1}{5}\)
回復 3# weiye 的帖子
謝謝瑋岳老師我還以為需去求平面有關方程與性質
謝謝,感激
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