請教標準差一題
請教標準差一題 謝謝!!10個同學,其中8位身高為180,179,176,175,174,171,169,168
若另兩位身高分別為a, b(a<= b)
欲使這10位同學身高標準差最小,求b=? 這裡有類題,用相同方法就可以算了
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答：\(b=a=\)已知這8人的平均174先設已知的8人身高分別以 \(x_1, x_2, ..., x_8\)代表，\(x_9=a, x_{10}=b\)
使標準差最小，也就是要使 \(\sum_{1}^{10}(x_i-\overline{X})^2\)最小
\(\displaystyle \sum_{1}^{10}(x_i-\overline{X})^2=\sum_{1}^{10}x_i^2-10\overline{X}^2\)
\(\displaystyle =\sum_{1}^{8}x_i^2+a^2+b^2-\frac{(\sum_{1}^{8}x_i+a+b)^2}{10}\) \(\leftarrow\) 令此式為 \(f(a,b)\)
\(f(a,b)=f(b,a)\) (對稱，想必達極值時 \(a=b\))
解 \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial a}=2a-\frac{1}{5}(\sum_{1}^{8}x_i+a+b)=0\)
\(9a-b=\sum_{1}^{8}x_i\) \(\rightarrow\) \(\displaystyle a=b=\frac{\sum_{1}^{8}x_i}{8}\)
[[i] 本帖最後由 Pacers31 於 2013-7-29 08:28 PM 編輯 [/i]]
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