102北門高中
如題！不好意思，初次發文，請幫忙調整檔案格式！(內含國文試題，請見諒)
註：weiye 於 102.07.20 08:59PM 已處理附件（拿掉國文科試題，僅留數學科試題）。
113.5.25補充
4.
計算級數：\(\displaystyle \frac{2}{1^3}+\frac{6}{1^3+2^3}+\frac{12}{1^3+2^3+3^3}+\ldots+\frac{n(n+1)}{1^3+2^3+\ldots+n^3}\)到第35項之值為[u] [/u]。
我的教甄準備之路 裂項相消，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678[/url]
10.
已知\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=4\)、\(\overline{BC}=6\)且\(\angle A=2\angle C\)，則\(\Delta ABC\)的面積為[u] [/u]。
相關問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1078[/url]
13.
金字塔模型，底面是邊長為2的正方形，四個側面是邊常為3的等腰三角形，求相鄰兩側面夾角的餘弦值為[u] [/u]。
14.
正四面體的四頂點落在兩歪斜線\(L_1\)：\(\cases{x=4+t\cr y=-3-t\cr z=0}\)，\(t\in R\)與\(L_2\)：\(\cases{x=2+s\cr y=2+s\cr z=1}\)，\(s\in R\)上，試求此正四面體的稜長為[u] [/u]。
20.
設\(A=\left[\matrix{4&2\cr -3&-1}\right]\)，求\(A^{10}=\)[u] [/u]。
我的教甄準備之路 矩陣\(n\)次方，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875[/url] 請教第11題，謝謝!
回復 2# Herstein 的帖子
填充第 11 題：坐標平面上，若\(\displaystyle \vec{AB}-\vec{PA}=\frac{4}{3}\vec{AC}\)且\(\Delta PBC\)面積為8，則\(\Delta ABC\)面積為[u] [/u]。
[解答]
\(\displaystyle \vec{AB}-\vec{PA}=\frac{4}{3}\vec{AC}\)
\(\displaystyle \Rightarrow\left(\vec{PB}-\vec{PA}\right)-\vec{PA}=\frac{4}{3}\left(\vec{PC}-\vec{PA}\right)\)
\(\Rightarrow 2\vec{PA}-3\vec{PB}+4\vec{PC}=\vec{0}\)
可知 \(P\) 在 \(\triangle ABC\) 外部， \(B,P\) 分別在直線 \(\overleftrightarrow{AC}\) 的兩側，
且 \(\triangle PBC\mbox{面積}:\triangle PAC\mbox{面積}:\triangle PAB\mbox{面積}=2:3:4\)
因為 \(\triangle PBC\mbox{面積}=8\) ，所以 \(\triangle PAC\mbox{面積}=12, \triangle PAB\mbox{面積}=16\)
\(\triangle ABC\mbox{面積}=\triangle PBC\mbox{面積}+\triangle PAB\mbox{面積}-\triangle PAC\mbox{面積}=8+16-12=12.\) 填充第 15 題：
已知坐標平面上兩點\(P(7,1)\)與\(Q(19,6)\)都在拋物線上，且拋物線的準線為\(y=k\)，求\(k\)值範圍為[u] [/u]。
[解答]
令 \(A(7,1), B(19,6)\) ，則 \(\overline{AB}=13\)
令 \(A\) 到準線 \(y=k\) 的距離為 \(r_1=\left|1-k\right|\)
\(B\) 到準線 \(y=k\) 的距離為 \(r_2=\left|6-k\right|\)
因為 \(y=k\) 為拋物線的準線且 \(A,B\) 為拋物線上的點
可知 \(A,B\) 在 \(y=k\) 直線的同側，即 \(1-k\) 與 \(6-k\) 同正負號。
當 \(r_1+r_2\geq \overline{AB}\) 時，則可得拋物線的焦點坐標，反之亦然。
case i: \(1-k>0\) 且 \(6-k>0\) ，則 \(\left(1-k\right)+\left(6-k\right)\geq 13\Rightarrow k\leq -3\)
[attach]1918[/attach]
case ii: \(1-k<0\) 且 \(6-k<0\) ，則 \(\left(k-1\right)+\left(k-6\right)\geq 13\Rightarrow k\geq 10\)
[attach]1919[/attach]
故，\(k\leq-3\) 或 \(k\geq10\) 時，若且唯若通過 \(A,B\) 且準線為 \(y=k\) 的拋物線會存在。 請教第8與12題
另外第18,我算的答案是-1<a<1
我算了兩次還是...
謝謝 第 18 題
若 a = 0，P 就在 f(x) 的圖形上了，不合題意
官方的答案沒錯 [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2013-7-22 08:44 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=9024&ptid=1711][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 18 題
若 a = 0，P 就在 f(x) 的圖形上了，不合題意
官方的答案沒錯 [/quote]
謝謝 鋼琴老師
我自己忘了改一負號 第六題中位數是110??
回復 3# weiye 的帖子
老師請問一下您說的可知 P 在 ABC 外部， BP 分別在直線 AC 的兩側，
是因為正負號嗎?
且 PBC面積: PAC面積: PAB面積=2:3:4
怎得知的??
謝謝
回復 8# mcgrady0628 的帖子
要找中位數, 好像要把數據從小到大排列。回復 10# martinofncku 的帖子
哈哈!!真粗心!!感恩回復 9# mcgrady0628 的帖子
令 \(\vec{PA'}=2\vec{PA}, \vec{PB'}=-3\vec{PB}, \vec{PC'}=4\vec{PC}\)則 \(\vec{PA'}+\vec{PB'}+\vec{PC'}=\vec{0}\)
可知 \(P\) 是 \(\triangle A'B'C'\) 的重心，
\(\triangle PB'C'\mbox{面積}=\triangle PA'C'\mbox{面積}=\triangle PA'B'\mbox{面積}\)
\(\Rightarrow \left|-3\right|\cdot4\triangle PBC\mbox{面積}=2\cdot4\triangle PAC\mbox{面積}=2\cdot\left|-3\right|\triangle PAC\mbox{面積}\)
\(\Rightarrow \triangle PBC\mbox{面積}: \triangle PAC\mbox{面積}:\triangle PAB\mbox{面積}=2:\left|-3\right|:4\) 想請教第9題
謝謝
回復 13# ilikemath 的帖子
9.兩組二維數據\((u_i,v_i)\)與\((x_i,y_i)\)，變量\(U\)與\(X\)、\(V\)與\(Y\)分別有線性關係如下：\(u_i=-x_i+7\)、\(\displaystyle v_i=\frac{1}{2}y_i+2\)，已知\(V\)對\(U\)的迴歸直線通過點\((8,3)\)且\(\mu_x=4\)、\(\mu_y=6\)則\(Y\)對\(X\)的迴歸直線方程式為\(y=\)[u] [/u]。
[解答]
\(v\) 對 \(u\)的迴歸直線通過(8, 3) \(\rightarrow\) 設\(v=a(u-8)+3\)
由題目說的線性關係得\(\displaystyle\frac{1}{2}y+2=a(-x+7-8)+3\)
\(\rightarrow\) \(y=-2a(x+1)+2\)
又此直線必過\((\mu_x, \mu_y)=(4, 6)\) 〈題目出得不好，沒講清楚這兩個分別是\(x,y\)的平均〉
解得\(\displaystyle a=\frac{-2}{5}\) \(\rightarrow\) \(\displaystyle y=\frac{4}{5}(x+1)+2\)
回復 1# sam 的帖子
請問第一題能用根與係數算出一些關係
但不曉得如何用在10的次方上
回復 15# Sandy 的帖子
填充第 1 題：設\(x^2+2x log5+log\frac{5}{2}=0\)的二根為\(\alpha\)、\(\beta\)則\(10^{\alpha}+10^{\beta}=\)[u] [/u]。
[解答]
\(\displaystyle x^2+2x\log5+\log\frac{5}{2}=0\)
\(\displaystyle \Rightarrow x^2+2x\log5+\log\frac{25}{10}=0\)
\(\displaystyle \Rightarrow x^2+2x\log5+\left(2\log5-1\right)=0\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left(x+2\log5-1\right)\left(x+1\right)=0\)
\(\displaystyle \Rightarrow x=1-2\log5\) 或 \(x=-1\)
\(\displaystyle \Rightarrow x=\log\frac{10}{5^2}=\log\frac{2}{5}\) 或 \(\displaystyle x=\log\frac{1}{10}\)
\(\displaystyle \Rightarrow 10^\alpha+10^\beta=10^{\log2/5}+10^{\log1/10}=\frac{2}{5}+\frac{1}{10}=\frac{1}{2}.\) 想請教各位先進11題和20題的解答過程，謝謝。
回復 17# raint 的帖子
11. [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1711&page=1#pid9010]#3[/url] weiye 老師已解20. 特徵值、對角化，或參考 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1017&page=1#pid2549]99清水高中 Fermat 老師[/url] 感謝#18T大的回答，
結果發現是我看錯了，可以在請問第一大題的第12題嗎??謝謝
回復 19# raint 的帖子
填充題第 12 題：在坐標平面上的\(\Delta ABC\)中，\(O\)為外心、\(H\)為垂心，若\(\angle A=60^{\circ}\)、\(\angle B=75^{\circ}\)、\(\overline{AB}=4\sqrt{2}\)，求\(|\;\vec{OH}|\;=\)[u] [/u]。
[解答]
由正弦定理，求得 \(\overline{AC}=2\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right), \overline{BC}=4\sqrt{3}\)，\(\triangle ABC\) 的外接圓半徑 \(R=4\)
利用 \(\overline{OH}^2=9R^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
（證明我放在 [url]https://math.pro/db/thread-36-1-1.html[/url] ）
可得 \(\overline{OH}^2=9R^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=9\times16-\left[\left(4\sqrt{2}\right)^2+\left(4\sqrt{3}\right)^2+\left(2\sqrt{6}+2\sqrt{2}\right)^2\right]\)
\(=32-16\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \left|\vec{OH}\right|=2\sqrt{8-4\sqrt{3}}=2\sqrt{8-2\sqrt{12}}=2\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\)
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