102竹東高中（二招）
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請問一題複數
[attach]1920[/attach] 利用以下定理f(z) 與 g(z) 為多項式，當點 z 在閉曲線 C 上時，若滿足 |f(z)| ＞ |g(z)|，則方程式 f(z) + g(z) = 0 與 f(z) = 0 在閉曲線 C 之內部的複數根個數相同
z^6 - 6z^5 + 8z^2 - 1 = 0 在 |z| = 2 內有 5 個根，在 |z| = 1/2 內有 2 個根
所求為 5 - 2 = 3 個
請問一題連續的問題
[attach]1921[/attach]請問如何比大小
[attach]1922[/attach]回復 5# YAG 的帖子
兩者有意義 \( \Rightarrow t>0 \)算幾不等式有 \( \frac{t+1}{2} \geq \sqrt{t} \)
若 \( a>1 \)，則 \( \frac12 \log_a t \leq \log_a \frac{t+1}{2} \)
若 \( 0<a<1 \)，則 \( \frac12 \log_a t \geq \log_a \frac{t+1}{2} \)
以上等號僅在 \( t = 1 \) 時，成立
回復 4# YAG 的帖子
利用定理：設 \( f_n: R \to R \) 皆為連續函數，\( K \subset R \) 為一緊緻集 (compact set)，若 \( f_n \) 在 \( K \) 上均勻收斂至 \( f \)，則 \( f\big|_K \) 為連續函數。利用 Ratio Test 的證明方式，可以得到：對任意 \( r> 0, K = [-r,r], r>0 \)，\( f_n \) 皆均勻收至 \( f \)，故 \( f\big|_K \) 皆為連函數，對任意 \( r>0 \)
因此 \( f: R\to R \) 亦為連續函數。
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