102南港高中(代理)
想請問第5，6，7，8，12，13，15題，順便請問有沒有人有算答案(想對答案)，謝謝!
回復 1# Jacob 的帖子
第 5 題\(a_1a_2\cdots a_{2013}\) 為 \(0\) 或 \(\left(-1\right)^k\cdot2^n\) 其中 \(k\in\left\{1,2\right\}, n\in\left\{0,1,2,\cdots 2013\right\}\)
因此共有 \(1+2\times2014=4029\) 種可能值。
第 6 題：
以邊長 \(7,20,15\) 做三角形，
所求＝在邊長 \(7\) 上的對應高長＝\(\displaystyle\frac{\sqrt{\frac{7+20+15}{2}\cdot\frac{-7+20+15}{2}\cdot\frac{7-20+15}{2}\cdot\frac{7+20-15}{2}}}{7/2}=12\)
ps. 如有計算錯誤，還請告知，感謝。
回復 1# Jacob 的帖子
第 7 題：令圓半徑為 \(R\)，
在 \(\triangle ABD\) 中，由正弦定理，
可得 \(\displaystyle \frac{\overline{BD}}{\sin\left(\alpha+\beta\right)}=2R\Rightarrow R=5\sqrt{2}\)
因為 \(\overline{AC}\) 為直徑，所以 \(\angle ABC=\angle ADC=90^\circ\)
\(\Rightarrow \triangle ABC\mbox{面積}=R^2 \sin 2\alpha, \triangle ADC\mbox{面積}=R^2 \sin 2\beta\)
因為 \(\triangle ABC\mbox{面積}=2\triangle ADC\mbox{面積}\)
可得 \(\sin2\alpha=2\sin2\beta\) ‧‧‧（＊）
因為 \(\alpha+\beta=45^\circ\)，所以 \(2\beta=90^\circ-2\alpha\)
\(\Rightarrow \sin2\beta=\cos2\alpha\) ‧‧‧（＊＊）
由 （＊）＆（＊＊），可知 \(\displaystyle \cos2\alpha=\frac{1}{2}\sin2\alpha\)
帶入 \(\sin^2 2\alpha+\cos^2 2\alpha=1\)
\(\displaystyle \Rightarrow \sin^2 2\alpha+\left(\frac{1}{2}\sin 2\alpha\right)^2=1\)
\(\displaystyle \sin2\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
（因為 \(0<2\alpha<90^\circ\) ，所以 \(\sin2\alpha\) 為正數）
\(\displaystyle \Rightarrow \triangle ABC\mbox{面積}=R^2 \sin 2\alpha=20\sqrt{5}\)
註：感謝 寸絲老師 提醒小錯誤，已更正。 ：）
回復 1# Jacob 的帖子
第 8 題：設 \(\overleftrightarrow{CD}\) 直線方程式為 \(x+2y-k=0\)
四條直線兩兩解二元一次聯立方程式，
可得 \(\displaystyle A(3,-1), B(1,0), C(\frac{4-k}{3},\frac{2k-2}{3}), D(\frac{k+14}{5},\frac{2k-7}{5})\)
再帶多邊形面積公式（測量師公式，或是要把它拆成 \(\triangle ABC+\triangle ADC\) 也可以）
\(\displaystyle \big|\Bigg|\begin{array}{ccccc}\displaystyle 3& 1& \frac{4-k}{3}& \frac{k+14}{5}&3 \\ -1& 0& \frac{2k-2}{3}& \frac{2k-7}{5}& -1\end{array}\Bigg|\big|=45\)
可解得 \(k\) 之值，進而得 \(\overleftrightarrow{CD}\) 直線方程式。 第七題，不解釋
回復 1# Jacob 的帖子
第 12 題：設 \(L\) 的方向向量 \(\vec{v}=(7,-8,-11)\)
平面 \(2x-y+2z=0\) 的法向量 \(\vec{n}=(2,-1,2)\)
已知 \(L\) 通過 \(A(2,-1,2)\)，
先求得 \(A\) 在 \(E\) 上的投影點為 \(A_1 (0,0,0)\)
設 \(A\) 在題目要求的直線上的投影點為 \(A_2\)
則 \(\displaystyle \overline{AA_1}=3, \overline{A_1A_2}=\sqrt{35-3^2}=\sqrt{26}\)
向量 \(\displaystyle \vec{A_1A_2}=\pm\sqrt{26}\cdot\frac{\vec{n}\times \vec{v}}{\left|\vec{n}\times \vec{v}\right|}\)
然後可得 \(A_2\) 點坐標，再加上 \(L\) 直線的方向向量 \(\vec{v}\)
進而得知題目所求知直線方程式。
如看不懂，請參考下圖：
[attach]1991[/attach]
第 10 題：
[attach]1992[/attach]
回復 3# weiye 的帖子
第 7 題，面積是 \( R^2 \sin 2\alpha \) 才是吧?順帶提供一些答案，隨手亂寫的，應該不少錯誤
1. 16 (thepiano 兄的答案才正確，更正之)
2. \( a=11, b=-14, c=1, d=\pm 1 \) (thepiano 兄的答案才正確，更正之)
3. \( \frac17 \)
4. \( \sqrt[3]{2} \)
5. 4029
6. 12
7. \( 20\sqrt{5} \)
8. \( x+2y-16 =0 \) (感謝 thepiano 提醒)
9. 30
10. \( k=1 \) 拋物線；[color=Red]\( k>1 \) 橢圓；\( 0<k<1 \) 雙曲線[/color]。(先前看反，thepiano 大的答案才正確，已更正之 2013.09.08)
11. \( \frac{175}{459} \)
12 \( \frac{x-3}{7}=\frac{y-4}{-8}=\frac{z+1}{-11} \)，或 \( \frac{x+3}{7}=\frac{y+4}{-8}=\frac{z-1}{-11} \) (漏了負號，已補上，感謝 thepiano 更正)
14. AC
15. AC
16 \( \frac{165}{4} \) (與 thepiano 相同 2013.09.08補充)
17. 20
18. \( \frac{1}{\sqrt{5}}\left[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}\right] \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-9-8 09:25 PM 編輯 [/i]] 有幾題跟 寸絲 兄有點出入，請大家幫忙驗證一下
(1) 16
(2) d = ±1
(10) 0 ＜ k ＜ 1 是雙曲線，k ＞ 1 是橢圓
(12) 分母 -8
(16) 165/4
話說，代理教師考這麼多題，會不會有點狠？
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2013-7-19 10:07 PM 編輯 [/i]]
回復 1# Jacob 的帖子
第 13 題：\(\overleftrightarrow{CD}\) 直線斜率＝\(\displaystyle \frac{1}{t}\)
\(\Rightarrow \overleftrightarrow{CD}\) 直線方程式為 \(\displaystyle y=\frac{1}{t}x-1\)
上式與 \(x+y=1\) 解聯立方程式，
求得 \(\displaystyle D(\frac{2t}{1+t}, \frac{1-t}{1+t})\)
\(\displaystyle \Rightarrow \triangle BCD \mbox{面積}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot1-\frac{1}{2}\cdot1\cdot t-\frac{1}{2}\cdot(1-t)\cdot\frac{1-t}{1+t}=\frac{t-t^2}{t+1}\)
令 \(\displaystyle k=\frac{t-t^2}{1+t}\)
\(\displaystyle \Rightarrow t^2+\left(k-1\right)t+k=0\)
因為 \(t\in\mathbb{R}\)，所以 \(\left(k-1\right)^2-4\cdot1\cdot k\geq0\)
\(\Rightarrow k\geq3+2\sqrt{2}\) 或 \(k\leq 3-2\sqrt{2}\)
且因為 \(\displaystyle k\leq\triangle OAB\mbox{面積}=\frac{1}{2}\)
可得 \(\displaystyle k\leq3-2\sqrt{2}\)
當 \(k=3-2\sqrt{2}\) 時，帶入 \(t^2+\left(k-1\right)t+k=0\)
可解得 \(t=\sqrt{2}-1\)
因此，\((\alpha,S)=(\sqrt{2}-1, 3-2\sqrt{2})\)
回復 8# thepiano 的帖子
更狠的是全部都是計算題，都要過程連多選題也要理由
回復 1# Jacob 的帖子
第 15 題：Ａ選項：不論採取何種賽程，甲獲得冠軍的機率皆為 \(\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9}\)
Ｂ選項：若採（a），丙獲得冠軍的機率為 \(\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{9}\)
若採（b），丙獲得冠軍的機率為 \(\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{27}\)
若採（c），丙獲得冠軍的機率為 \(\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{7}{27}\)
所以採（c）方案丙獲得冠軍的機率最高。
Ｃ選項：同上，\(\displaystyle \frac{2}{9}=\frac{6}{27}\)
Ｄ選項：\(\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot1=\frac{16}{27}<\frac{3}{5}\)
回復 5# lyingheart 的帖子
第 7 題：雖然 lyingheart 老師說了 "不解釋"
可是小弟好想畫蛇添足的幫忙解釋一下...
因為他的作法比小弟用一堆代數處理的方法漂亮太多了
----------------------------《以下是小弟對萊茵哈特老師的圖的解讀》
（請搭配萊茵哈特老師的圖）
自 \(D,B\) 分別往 \(\overline{AC}\) 做垂線，得垂足分別為 \(E,F\)
圓周角 \(\angle DAB = 45^\circ \Rightarrow\) 圓心角 \(\angle DOB=90^\circ\)
等腰直角三角形 \(\triangle DOB\) 已知斜邊長 \(\overline{DB}=10\Rightarrow \) 半徑＝腰長＝\(5\sqrt{2}\)
因為 \(\angle DOE=90^\circ-\angle FOB=\angle OBF\) 且 \(\overline{OD}=\overline{OB}\)
所以兩直角三角形 \(\triangle DOE, \triangle OBF\) 全等
又依題意可推知 \(\overline{DE}:\overline{BF}=1:2\Rightarrow \overline{OF}:\overline{BF}=1:2\)
在兩股比為 \(1:2\) 且斜邊長 \(\overline{OB}=5\sqrt{2}\) 的直角三角形 \(\triangle OBF\) 中
可得 \(\displaystyle \overline{BF}=5\sqrt{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \triangle ABC \mbox{面積}=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{2}\cdot \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = 20\sqrt{5}.\) 想請教1 &4題 謝謝 第 1 題
令 AC = AB = x
AD = √(AB^2 - BD^2) = √(x^2 - 87)
再令 √(x^2 - 87) = a (a 是正整數)
x^2 - 87 = a^2
(x + a)(x - a) = 87 = 87 * 1 = 29 * 3
x = 44，a = 43
x = 16，a = 13
所求為 16
第 4 題
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3082[/url]
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2013-7-25 04:34 PM 編輯 [/i]] 想請教Q13的CD斜率
為什麼可假設為1/t
感謝 想請教17題 謝謝 第 17 題
有一個四面體\(ABCD\)，其中\(\overline{AB}=\overline{CD}=5\)，\(\overline{AC}=\overline{BD}=\sqrt{41}\)，\(\overline{AD}=\overline{BC}=\sqrt{34}\)，求此四面體的體積。
110.8.23版主補充
類似問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=929&page=1#pid1991[/url] 第四題
假設AC=x及∠ACB=α (=> ∠ADB=2α)
觀察△ACE => cosα=1/x
觀察△ABD => cos2α=x-1
由倍角公式[cos2α=2cos^2(α)-1]得等式x^3=2
故x=2^(1/3)
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