102竹山高中
[attach]1906[/attach]請問填充5的答案是否怪怪的!
請問填充5的答案是否怪怪的! 請問填充8、證明2。填充5答案沒問題！
[[i] 本帖最後由 smallwhite 於 2013-7-18 03:34 PM 編輯 [/i]] 附上 word 檔試題及答案，如附件。 想請教填充4,8題 謝謝
回復 5# 阿光 的帖子
填充第 4 題：\(2\left(10x+13\right)^2\left(5x+8\right)\left(x+1\right)=1\)
\(\Rightarrow 2\left(100x^2+260x+169\right)\left(5x^2+13x+8\right)-1=0\)
令 \(t=5x^2+13x\)
\(\Rightarrow 2\left(20t+169\right)\left(t+8\right)-1=0\)
\(\Rightarrow \left(2t+17\right)\left(20t+159\right)=0\)
\(\Rightarrow \left(10x^2+26x+17\right)\left(100x^2+260x+159\right)=0\)
檢查判別式，可知 \(10x^2+26x+17=0\) 有兩虛根且 \(100x^2+260x+159=0\) 有兩實根
因為 \(pq+rs\) 為實數，可知 \((p,q)\) 與 \((r,s)\) 分別為上述兩方程式的根（或是 \((r,s)\) 與 \((p,q)\) ），
\(\displaystyle pq+rs=\frac{17}{10}+\frac{159}{100}=\frac{329}{100}.\)
回復 3# smallwhite 的帖子
計算證明題第 2 題：設 \(f(x)\) 與 \(g(x)\) 皆為不超過 \(n\) 次的多項式，
且都通過 \((x_0,y_0), (x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)\)
令 \(h(x)=f(x)-g(x)\)
則 \(h(x)\) 為一個不超過 \(n\) 次的多項式，
且 \(h(x_i)=f(x_i)-g(x_i)=y_i-y_i=0, \forall i=0,1,2,\cdots, n\)
可知不超過 \(n\) 次的多項式方程式 \(h(x)=0\) 有 \(n+1\) 個相異實根
由代數基本定理可推知，
\(\Rightarrow h(x)\) 為零多項式
（或是由 \(h(x_i)=0, \forall i=1,2,\cdots, n\) 且 \(h\) 次數不超過 \(n\) 次
可令 \(h(x)=k(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\)
再由 \(h(x_0)=0\) 且 \((x_0-x_1)(x_0-x_2)\cdots (x_0-x_n)\) 非零
可知 \(k=0\Rightarrow h(x)\) 為零多項式）
故 \(f(x)-g(x)=0\) 恆成立
亦即 \(f(x)=g(x)\) 恆成立
回復 5# 阿光 的帖子
第 8 題：先分析題目：
\(A\) 落在直線 \(y=\sqrt{3} x\) 上
\(B\) 落在直線 \(y=0\) 上
若將圓 \(C:(x-3)^2+(y-4)^2=1\) 對稱 \(y=\sqrt{3} x\) 直線可得圓 \(C_1\)
若將圓 \(C:(x-3)^2+(y-4)^2=1\) 對稱 \(y=0\) 直線可得圓 \(C_2\)
\(C\) 上的點 \(P\) 對稱 \(y=\sqrt{3} x\) 直線可得點 \(P_1\)
\(C\) 上的點 \(P\) 對稱 \(y=0\) 直線可得圓 \(P_2\)
\(\triangle PAB\) 周長＝ \(\overline{PA}+\overline{AB}+\overline{BP}\)
＝ \(\overline{P_1A}+\overline{AB}+\overline{BP_2}\)
\(\geq\overline{P_1P_2}\)
不過....
寫到一半發現 thepiano 老師已經先寫完了，而且寫得更簡潔。（所以後半段就不寫了...）
在 [url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3079[/url] 請教填充 7、9 二題，謝謝!
回復 9# Herstein 的帖子
填充第 7 題：第 7 題：
旋轉完後，看起來會像是兩個有相同底面的直圓錐且底面接合在一起，
底面圓的半徑＝\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
旋轉體的體積＝\(\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\pi\left(\frac{2}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2\cdot\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\displaystyle =\frac{4\pi}{3\sqrt{x^2+y^2}}\)
已知三角形面積 \(\displaystyle \frac{1}{2}xy=1\Rightarrow xy=2\)
由算幾不等式，可得 \(\displaystyle \frac{x^2+y^2}{2}\geq\sqrt{x^2y^2}\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}\geq2\)
\(\Rightarrow\) 旋轉體的體積 \(\displaystyle \frac{4\pi}{3\sqrt{x^2+y^2}}\leq\frac{2\pi}{3}\)
可知當直角三角形的兩股相等時，旋轉體體積會有最大值為 \(\displaystyle \frac{2\pi}{3}.\)
回復 9# Herstein 的帖子
填充第 9 題：對於七題中的任意一題而言，
該題被答對的機率＝\(\displaystyle \frac{4}{7}\cdot\frac{4}{7}+\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{7}=\frac{25}{49}\)
該題答對數目的的期望值＝\(\displaystyle 1\cdot\frac{25}{49}=\frac{25}{49}\)
此七題被答對數目的期望值＝\(\displaystyle 7\cdot\frac{25}{49}=\frac{25}{7}\) 想請教填充3 謝謝 請教填充2 謝謝!!
回復 13# spiralshells 的帖子
填充第 2 題：請參考
[url]https://math.pro/db/thread-62-1-4.html[/url]
[url]https://math.pro/db/thread-401-1-1.html[/url]
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=975&page=2#pid2916[/url]
另外，不久前看過寸絲用二項分配（\(X\sim B(n, 1/2)\)
求 \(2^n\cdot E(X^2)=2^n\cdot \left(Var(X)+E^2(X)\right)\) 來解這個的作法，更快，但是我忘了是哪一篇了。
回復 12# 阿光 的帖子
填充第 2 題：見 thepiano 老師在美夢成真的解答
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=9684#p9684[/url] 感謝瑋岳大師!! [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2013-7-19 01:55 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8963&ptid=1705][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第 9 題：
對於七題中的任意一題而言，
該題被答對的機率＝\(\displaystyle \frac{4}{7}\cdot\frac{4}{7}+\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{7}=\frac{25}{49}\)
該題答對數目的的期望值＝ ... [/quote]
請教瑋岳老師
關於"該題被答對的機率 ..."這裡看不懂
想不出來,可否告知
謝謝 請教第6與10
謝謝
(第6題我嘗試用遞迴解,結果...)
回復 17# arend 的帖子
該題被答對的機率＝(該題正確答案是○的機率)*(作答者該題答○的機率)＋(該題正確答案是×的機率)*(作答者該題答×的機率)回復 18# arend 的帖子
填充第 6 題：易知 \(f(1)=\alpha+\beta=1>0, f(2)=\left(\alpha+\beta\right)^2-2\alpha\beta=3>0\)
且 \(\displaystyle f(n+2)-f(n+1)-f(n)=0,\forall n\in\mathbb{N}\)
\(\Rightarrow f(n+2)=f(n+1)+f(n)>0,\forall n\in\mathbb{N}\)
令 \(\displaystyle p=\lim_{n\to\infty}\frac{f(n+1)}{f(n)}\)
則 \(\displaystyle f(n+2)-f(n+1)-f(n)=0\Rightarrow \frac{f(n+2)}{f(n+1)}-1-\frac{f(n)}{f(n+1)}=0\)
\(\displaystyle \Rightarrow p-1+\frac{1}{p}=0\Rightarrow p^2-p-1=0\)
\(\displaystyle \Rightarrow p=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)
因為 \(\displaystyle f(n)>0,\forall n\in\mathbb{N}\)，所以 \(p\geq0\)
\(\displaystyle \Rightarrow p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
註：因為是填充題，所以略掉了 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{f(n+1)}{f(n)}\) 的存在性討論。
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