102台中二中(代理)
. 請教填充8,10謝謝
填充8.
有一遊戲規則如下：先投擲一公正骰子，得點數\( n \)，
(1) 若\( n \)為奇數，則進一步投擲三個公正骰子，若三骰子出現之最大點數恰為\( n \)時，則可得\( n \)元。(最大點數不為\( n \)，則得0元)
(2) 若\( n \)為偶數，則需付出\( x \)元。
為使遊戲公平，則\( x \)應為＿＿＿元。
填充10.
已知某試驗每次成功機率為\( \displaystyle \frac{1}{5} \)，現在做\( n \)次，其中有\( X \)次成功，若\( P(X \ge 1)\ge 0.8 \)，則\( n \)的最小值為＿＿＿。
回復 2# arend 的帖子
填充第 8 題：\(\displaystyle 1\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1^3}{6^3}+3\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{3^3-2^3}{6^3}++5\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5^3-4^3}{6^3}-x\cdot\frac{3}{6}=0\)
\(\displaystyle \Rightarrow x=\frac{121}{216}\)
回復 2# arend 的帖子
填充第 10 題：\(\displaystyle 1-\left(\frac{4}{5}\right)^n\geq0.8\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{4}{5}\right)^n\leq\frac{1}{5}\)
\(\displaystyle \Rightarrow n\log\frac{4}{5}\leq\log\frac{1}{5}\)
\(\displaystyle \Rightarrow n\left(\log8-\log10\right)\leq\log2-\log10\)
\(\displaystyle \Rightarrow n\left(3\times0.3010-1\right)\leq0.3010-1\)
\(\displaystyle \Rightarrow n\geq 7.206\cdots\)
\(n\) 至少為 \(8\) [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2013-7-14 06:33 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8880&ptid=1691][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第 10 題：
\(\displaystyle 1-\left(\frac{4}{5}\right)^n\geq0.8\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{4}{5}\right)^n\leq\frac{1}{5}\)
... [/quote]
謝謝瑋岳老師
是我寫顛到了
謝謝 [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2013-7-14 06:27 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8879&ptid=1691][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第 8 題：
\(\displaystyle 1\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1^3}{6^3}+3\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{3^3-2^3}{6^3}++5\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5^3-4^3}{6^3}-x\cdot\frac{3}{6}=0\)
... [/quote]
謝謝瑋岳老師
原來我是沒把偶數計算在內
謝謝不吝告知 請教填充1，謝謝!!
填充1.
若\( \displaystyle \frac{1}{1-x+x^2}=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n+\ldots \)，其中\( \left| x \right|<1 \)，\( a_0,a_1,a_2,\ldots \in R \)，則\( a_0+a_1+\ldots+a_{37}= \)＿＿＿。
填1
設\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x+x^2}=\frac{1+x}{1+x^3}=(1+x)(1-x^3+x^6-x^9+\ldots+x^{36}-\ldots)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{37}x^{37}+\ldots \)\( f(1)=(1+1)(1-1+1-1+\ldots+1-\ldots)=a_0+a_1+a_2+\ldots+a_{37}+\ldots \)
\( a_0+a_1+a_2+\ldots+a_{37}=(1+1)(1-1+1-1+\ldots+1)=2 \) 謝謝salbaer老師!! 想請教一下填充第4題，我可以理解當x=0帶入時，f(x)有最大值5，但當x在範圍內時，cosx為正數，為何不可使用算幾不等式，但算幾不等式出來答案大於等於4，最小值卻是4，不知道哪裡觀念錯了，請老師們解惑，謝謝。 驗證一下算幾不等式等號成立的條件，就會發現等號不會成立^^
回復 11# airfish37 的帖子
感謝您的解釋!!!!回復 8# salbaer 的帖子
不好意思，最後一行看不懂……回復 13# martinofncku 的帖子
你把整個多項式展開就可以觀察出來了 請問6該怎麼做呢?填充6.
若不等式\( (x-1)(x+2)>mx+1 \)的解為\( x<\beta \)或\( x<\alpha \)，其中\( \alpha<\beta \)，則滿足不等式\( (x-\alpha)(x-\beta)+mx-3\le 0 \)的解為＿＿＿。
回復 15# martinofncku 的帖子
填充第 6 題：\(\left(x-1\right)\left(x+2\right)>mx+1\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-mx-3>0\)
同義於 \(\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)>0\)
因此，
\(\left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)+mx-3\leq0\)
同義於
\(\left(x^2+x-mx-3\right)+mx-3\leq0\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-6\leq0\)
\(\Leftrightarrow \left(x+3\right)\left(x-2\right)\leq0\)
\(\Leftrightarrow -3\leq x\leq2\)
請問計算2,謝謝
橢圓\( \Gamma \)的焦點為\( A \)與\( B \)，且\( P \)與\( Q \)在\( \Gamma \)上，已知\( \overline{PA}=3 \),\( \overline{PB}=7 \),\( \overline{QA}=4 \)，且\( \Delta PAB \)與\( \Delta QAB \)的面積比為\( 2:\sqrt{5} \)，則\( \Gamma \)的短軸長度為何？回復 17# maymay 的帖子
計算第 2 題：橢圓的長軸長 \(2a=\overline{PA}+\overline{PB}=10\Rightarrow a=5\)
不失一般性，可假設橢圓方程式 \(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 其中 \(b>0\)
設 \(\displaystyle P(x_1,y_1), Q(x_2,y_2), c=\sqrt{a^2-b^2}\)
由橢圓的對稱性，可假設 \(P,Q\) 都位在第一象限
則 \(y_1:y_2=2:\sqrt{5}\)
且焦半徑 \(\displaystyle a-\frac{c}{a}x_1=3, a-\frac{c}{a}x_2=4\Rightarrow x_1=\frac{10}{c}, x_2=\frac{5}{c}\)
把上兩者 \(x_1, x_2\) 都帶入橢圓方程式，可得 \(\displaystyle y_1^2=b^2\left(1-\frac{4}{c^2}\right), y_2^2=b^2\left(1-\frac{1}{c^2}\right)\)
帶入 \(y_1^2:y_2^2=4:5\) 可解得 \(c^2=16\Rightarrow c=4\)
\(\Rightarrow\) 短軸長 \(\displaystyle 2b=2\sqrt{a^2-c^2}=6\)
註： 不用焦半徑的話，也可以見 thepiano 老師在美夢成真還有一個用海龍公式的解法：
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=9673#p9650[/url] 想請教填充1和計算5 謝謝
填充1.
若\( \displaystyle \frac{1}{1-x+x^2}=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n+\ldots \)，其中\( \left| x \right|<1 \)，\( a_0,a_1,a_2,\ldots \in R \)，則\( a_0+a_1+\ldots+a_{37}= \)＿＿＿。
計算5.
數列\( <a_n> \)的遞迴定義式為\( \displaystyle \cases{a_1=1 \cr a_n=\frac{5a_{n-1}}{3a_{n-1}+4}(n \in N,n \ge 2)} \)，則一般項\( a_n \)為何？
回復 19# 阿光 的帖子
填充第 1 題：\(\displaystyle \frac{1}{1-x+x^2}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\)
\(1=\left(1-x+x^2\right)\left(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\right)\)
\(=a_0+\left(a_1-a_0\right)x+\left(a_2-a_1+a_0\right)x^2+\left(a_3-a_2+a_1\right)x^3+\cdots\)
可知
\(a_0=1, a_1-a_0=0, a_2+a_1-a_0=0, a_3-a_2+a_1=0,\cdots\)
\(\Rightarrow a_0=1\)
\(a_1=a_0=1\)
\(a_2=a_1-a_0=0\)
\(a_3=a_2-a_1=-1\)
\(a_4=a_3-a_2=-1\)
\(a_5=a_4-a_3=0\)
\(a_6=a_5-a_4=1\)
\(a_7=a_6-a_5=1\)
由於自第三項起，每一項都決定於前兩項的值，
因此，可知此數列每六個依循環，且連續六個數字和＝\(1+1+0+(-1)+(-1)+0=0\)
\(\Rightarrow a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{37}=a_0+a_1=1+1=2\)
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