請問e^(-x^2 ) 0到無限大的積分為何
請問e^(-x^2 ) 0到無限大的積分為何 注意 \( \int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx \) 此瑕積分收斂，記作 \( I=\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\int_{0}^{\infty}e^{-y^{2}}dy \)。\( I^{2}=I\cdot\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}\cdot Idx=\int_{0}^{\infty}\left[e^{-x^{2}}\cdot\int_{0}^{\infty}e^{-y^{2}}dy\right]dx \)
而對任意實數 \( x
, e^{-x^{2}}\cdot\int_{0}^{\infty}e^{-y^{2}}dy=\cdot\int e^{-x^{2}}\cdot e^{-y^{2}}dy=\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}-y^{2}}dy \)。
故 \( I^{2}=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}-y^{2}}dydx \)，作極作標代換 \( x=r\cos\theta, y=r\sin\theta \)，
則 \( I^{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty}e^{-r^{2}}rdrd\theta=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{-e^{-r^{2}}}{2}\bigg|_{0}^{\infty}=\frac{\pi}{4} \)。
(修正積分範圍，感謝原 Po 提醒)
顯然 \( I>0 \)，故 \( I=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \)。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-7-11 02:08 PM 編輯 [/i]]
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有勞您解題了~ 謝謝您頁:
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