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不是因為困難所以我們才不敢,
而是因為我們不敢所以才困難。

stanleylee0609 發表於 2013-6-23 18:55

請問e^(-x^2 ) 0到無限大的積分為何

請問e^(-x^2 ) 0到無限大的積分為何

tsusy 發表於 2013-7-10 20:20

注意 \( \int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx \) 此瑕積分收斂,記作 \( I=\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\int_{0}^{\infty}e^{-y^{2}}dy \)。

\( I^{2}=I\cdot\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}\cdot Idx=\int_{0}^{\infty}\left[e^{-x^{2}}\cdot\int_{0}^{\infty}e^{-y^{2}}dy\right]dx \)

而對任意實數 \( x
, e^{-x^{2}}\cdot\int_{0}^{\infty}e^{-y^{2}}dy=\cdot\int e^{-x^{2}}\cdot e^{-y^{2}}dy=\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}-y^{2}}dy \)。

故 \( I^{2}=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}-y^{2}}dydx \),作極作標代換 \( x=r\cos\theta, y=r\sin\theta \),

則 \( I^{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty}e^{-r^{2}}rdrd\theta=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{-e^{-r^{2}}}{2}\bigg|_{0}^{\infty}=\frac{\pi}{4} \)。
(修正積分範圍,感謝原 Po 提醒)

顯然 \( I>0 \),故 \( I=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \)。

[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-7-11 02:08 PM 編輯 [/i]]

stanleylee0609 發表於 2013-7-11 18:15

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有勞您解題了~ 謝謝您

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