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八神庵 發表於 2013-6-20 10:57

102松山工農

如題
Enjoy It !

sunjay 發表於 2013-6-23 21:06

回復 1# 八神庵 的帖子

抱歉 今年轉戰高中 是個新手..
拜求 填充 7,8,9 三題  謝謝!

tacokao 發表於 2013-7-1 18:19

回復 2# sunjay 的帖子

美夢成甄教甄網鋼琴老師有解7、8題，請詳見，[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3052[/url] 。

weiye 發表於 2013-7-1 19:19

回復 2# sunjay 的帖子

填充第 9 題：
\(\displaystyle 1^2\cdot C_1^8\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^1\cdot \left(\frac{4}{5}\right)^7+
2^2\cdot C_2^8\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2\cdot \left(\frac{4}{5}\right)^6+
3^2\cdot C_3^8\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3\cdot \left(\frac{4}{5}\right)^5+\ldots+
8^2\cdot C_8^8\cdot \left(\frac{1}{5}\right)^8=\)[u]　　　[/u]？
[解答]
想成丟擲一枚不均勻的硬幣，正面出現機率 \(\displaystyle \frac{1}{5}\)，反面出現機率 \(\displaystyle \frac{4}{5}\)

隨機變數 \(X\) 表示連續丟擲八次所得的正面次數，題目即是要求 \(\displaystyle E\left(X^2\right)\)

\(\displaystyle E(X)=np=8\times\frac{1}{5}\)

\(\displaystyle Var(X)=np\left(1-p\right)=8\times\frac{1}{5}\times\frac{4}{5}\)

因為 \(\displaystyle Var\left(X\right) = E\left(X^2\right) - \left(E\left(X\right)\right)^2\)

所以 \(\displaystyle E\left(X^2\right)=Var\left(X\right)+\left(E\left(X\right)\right)^2=\frac{96}{25}\)

arend 發表於 2013-7-2 20:20

請教第6題
我算得很複雜
請提供一些思緒
謝謝
(我是利用托勒密定理,算到x^3-174x-308=0, 然後就....)

arend 發表於 2013-7-4 04:11

請教第 5,10兩題
5是否為推移矩陣?

謝謝

Jacob 發表於 2013-7-8 08:11

想請問填充第2、3 和第10題

想請問填充第2、3 和第10題，謝謝各位高手幫忙!

weiye 發表於 2013-7-8 09:03

回復 5# arend 的帖子

填充第 6 題：
\(\overline{AD}\)為半圓的直徑，且\(\overline{AB}=2\)、\(\overline{BC}=7\)、\(\overline{CD}=11\)，則\(\overline{AD}=\)[u]　　　[/u]？
[解答]
[attach]1857[/attach]

ps. 寫到最後也是 \(x^3-174x+308=0\) ...... 囧rz

weiye 發表於 2013-7-8 09:18

回復 6# arend 的帖子

填充第 5 題：
有甲、乙、丙三支大瓶子，開始時均裝有1公升的水，每一輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶，再將乙瓶的水倒出一半到丙瓶，然後再將丙瓶的水倒出一半回甲瓶，若一直操作下去當穩定狀態時，甲瓶的水量為[u]　　　[/u]公升？
[解答]
若甲乙丙三瓶中分別有 \(a,b,c\) 公升的水，經一輪（甲→乙→丙→甲）操作後，

可知甲乙丙三瓶分別還有 \(\displaystyle\frac{5a}{8}+\frac{b}{4}+\frac{c}{2}, \frac{a}{4}+\frac{b}{2}, \frac{a}{8}+\frac{b}{4}+\frac{c}{2}\) 公升的水，

得轉移矩陣為 \(\displaystyle\left[\begin{array}{ccc}\frac{5}{8}&\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\ \frac{1}{4}&\frac{1}{2}&0\\ \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2}\end{array}\right]\)

達穩定狀態時，設甲乙丙三瓶的水量分別為 \(x,y,z\)，

解方程式 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}\frac{5x}{8}+\frac{y}{4}+\frac{z}{2}=x\\ \frac{x}{4}+\frac{y}{2}=y\\ x+y+z=3\end{array}\right.\)

可得 \(\displaystyle x=\frac{3}{2}, y=z=\frac{3}{4}\)

因此，達穩定狀態時，甲瓶的水量為 \(\displaystyle \frac{3}{2}\) 公升。

weiye 發表於 2013-7-8 09:34

回復 6# arend 的帖子

填充第 10 題：
滿足\(|\;x|\;+|\;y|\;+|\;x+y-1|\;=1\)的所有點\((x,y)\)在坐標平面上所形成的區域面積為[u]　　　[/u]？
[解答]
將平面分成七個區域，去絕對值，

討論各區域所需滿足的圖形（方程式）為何。

[attach]1858[/attach]

weiye 發表於 2013-7-8 09:44

回復 7# Jacob 的帖子

填充第 2 題：
設四次多項式\(f(x)=-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\)，選取積分區間\(a\le x\le b\)，使得定積分\(\displaystyle \int_a^b f(x)dx\)達到最大值，請求出此最大值[u]　　　[/u]？
[解答]
先看 \(y=-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\) 與 \(x\) 軸的交點在哪裡，圖形長怎樣。

因式分解 \(-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\) 得 \(-(x-2)(x-1)(x^2+1)\)

可知 \(y=-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\) 的圖形

1. 當 \(x\) 在 \(1\) 到 \(2\) 之間時，圖形在 \(x\) 軸上方，

2. 當 \(x<1\) 或 \(x>2\) 時，圖形在 \(x\) 軸下方。

因此，取積分區間 \([1,2]\)

可得定積分之最大值為 \(\displaystyle\int_1^2\left(-x^4+3x^3-3x^2+3x-2\right)dx=\frac{11}{20}\)

weiye 發表於 2013-7-8 09:58

回復 7# Jacob 的帖子

填充第 3 題：
無窮級數\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+3+3^2+\ldots+3^n}{5^n}=\)[u]　　　[/u]？
[解答]
\(\displaystyle \frac{1+3+3^2+\cdots+3^n}{5^n}=\frac{\frac{1\cdot\left(3^{n+1}-1\right)}{3-1}}{5^n}=\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n\)

因為各別極限（如下）都存在

　　 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n=\frac{\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{5}}{1-\frac{3}{5}}=\frac{9}{4}\)

　且 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{1}{8}\)

所以，

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n\right)=
\sum_{n=1}^\infty\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n=\frac{9}{4}-\frac{1}{8}=\frac{17}{8}\)

亦即，所求 \(\displaystyle =\frac{17}{8}\)

arend 發表於 2013-7-8 14:17

[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2013-7-8 09:18 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8767&ptid=1655][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第 5 題：

若甲乙丙三瓶中分別有 \(a,b,c\) 公升的水，經一輪（甲→乙→丙→甲）操作後，

可知甲乙丙三瓶分別還有 \(\displaystyle\frac{5a}{8}+\frac{b}{4}+\frac{c}{2}, \frac{a}{4}+\frac{b}{2}, \frac{a}{8}+\) ... [/quote]
謝謝瑋岳老師的詳解

Jacob 發表於 2013-7-9 15:41

[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2013-7-8 09:58 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8770&ptid=1655][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第 3 題：

\(\displaystyle \frac{1+3+3^2+\cdots+3^n}{5^n}=\frac{\frac{1\cdot\left(3^{n+1}-1\right)}{3-1}}{5^n}=\frac{3}{2}\left(\frac{3}{5}\right)^n-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}\right)^n\)

因為各別 ... [/quote]
謝謝瑋岳大的解題，感恩!

tsusy 發表於 2013-7-9 20:19

印象中，一些教師手冊裡會提到，如果轉移矩陣的各元皆正或某次方後皆正，則必收斂至穩態。

不過這個定理，的確很難證，以前讀過隨機過程的時候，是用了另一個更大的定理 Perron–Frobenius theorem。

其內容為：一個 \( n \) 階實方陣 \( A \)，若 \( A \) 的各元非負 (有時記作 \( A \geq 0 \) ) 且 \( A^k >0 \) (各元皆正)

則方陣 \( A \) 有一個特徵值 \( \lambda_{pf} \)，滿足
1. 其它特徵值 \( \lambda \) 皆滿足 \( |\lambda| < \lambda_{pf} \)
2. \( \lambda_{pf} \) 的代數重數為 1
3. \( \lambda_{pf}>0 \) ，且其對應之特徵向量(左、右)之各元皆正

套在轉移矩陣上，就是說 \( \lambda_{pf} =1 \)，且其特徵向量(穩態)各元皆正，其它特徵任之絕對值 \( <1 \)

對角化，計算 \( A^n \)，即得每一行皆收斂至穩態。

tsusy 發表於 2013-7-9 23:50

這件事讓我想到另一問題，也有同樣的結果

題. 已知 A 袋中有 3 個 10 元硬幣，B 袋中有 2 個 5 元硬幣，今從 A 袋任取一個硬幣放入 B 袋，再由 B 袋任取一個硬幣放入 A 袋。若進行的次數夠多，試問 A 袋中有 2 個 10 元硬幣和 1 個 5 元硬幣的機率會趨近何值？

答. \( \displaystyle \frac{3}{5} = \frac{C^3_2\cdot C^2_1}{C^5_3}\)。

這個答案同樣跟初始狀態無關，因為答案是穩態矩陣其中一元，而穩態只有轉移矩陣決定，與初始狀態無關。

有趣的是，即使我們稍微改一下玩戲規則，比如說，原本是先 A 後 B，我們可以改成先 B 後 A，或者一起拿出一個交換。

這時候，轉移矩陣改變了，但是仔細一做，會發現答案不變，穩態也不變。也就是說，在某類的交換規則下，穩態不只跟初始狀態無關，也跟交換規則無關！

但具體的限制條件是什麼？該怎麼描述，才夠充分？，又如何證明之！



寸絲的確是為了好玩在做數學的，即使是去年前年，在準備教甄的時候，也是這樣的態度。

這個問題也不是現在才思考，定理是讀書的時候學的，但後來也忘得差不多，只是依稀記得有這個定理在

準備考試時間，偶爾當當玩樂趣味，才查起了完整的定理名稱和條件，不過現在大概是證不出佩龍定理了吧

arend 發表於 2013-7-11 18:57

[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2013-7-8 09:34 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8768&ptid=1655][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第 10 題：

將平面分成七個區域，去絕對值，

討論各區域所需滿足的圖形（方程式）為何。 [/quote]
謝謝瑋岳老師
不好意思今天才回覆

gamaisme 發表於 2013-7-12 23:12

想請教一下第二部份的第4題
如果不用公式的話
是否有較方便的方法?
試過用假設直線方程式帶入方程式
不過最後判別式的時候就........

weiye 發表於 2013-7-13 10:21

回復 19# gamaisme 的帖子

第二部分問答題第 4 題：
過點\((-2,2)\)且和橢圓方程式\(x^2+xy+y^2=1\)相切的直線方程式為？
丁同學的算式為：
過\((x_0,y_0)\)的二次曲線\(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)切線方程式為
\(\displaystyle ax_0x+b\left(\frac{y_0x+x_0y}{2}\right)+cy_0y+d\left(\frac{x+x_0}{2}\right)+e\left(\frac{y+y_0}{2}\right)+f=0\)
\((-2,2)\)代入公式得到\(\displaystyle -2x+\frac{2x-2y}{2}+2y=1\)，切線方程式為\(-x+y=1\)
[解答]
因為點 \((-2,2)\) 並不在橢圓 \(x^2+xy+y^2=1\) 的圖形上，

所以丁同學所求出的方程式並不是切線的方程式，

而是兩切點所連接的直線方程式（切點弦方程式，極線）。



丁同學可改用如下方式求切線：

假設過點 \((-2,2)\) 與橢圓 \(x^2+xy+y^2=1\) 相切的切線斜率為 \(m\)，

則切線方程式為 \(y-2=m\left(x+2\right)\Rightarrow y=mx+2\left(m+1\right)\)

將切線方程式帶入橢圓方程式，整理可得

\(\left(m^2+m+1\right)x^2+2\left(2m^2+3m+1\right)x+\left(4m^2+8m+3\right)=0\)

因為相切，所以 \(x\) 有重根，

可得 \(\left(2\left(2m^2+3m+1\right)\right)^2-4\left(m^2+m+1\right)\left(4m^2+8m+3\right)=0\)

\(\Rightarrow 2m^2+5m+2=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow m=-2\) 或 \(\displaystyle m=-\frac{1}{2}\)

亦即，切線方程式為 \(\displaystyle y-2=-2\left(x+2\right)\) 或 \(\displaystyle y-2=-\frac{1}{2}\left(x+2\right)\)

bugmens 發表於 2013-7-13 13:37

5.
有甲、乙、丙三支大瓶子，開始時均裝有1公升的水，每一輪操作都是先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶，再將乙瓶的水倒出一半到丙瓶，然後再將丙瓶的水倒出一半回甲瓶，若一直操作下去當穩定狀態時，甲瓶的水量為[u]　　[/u]公升？
其實weiye在2009年也解過一次了，[url]https://math.pro/db/thread-845-1-10.html[/url]

或許可以改一下題目
甲瓶有1公升濃度100%酒，乙瓶和丙瓶各有1公升的水，按照上面的操作方式，最後甲瓶酒的濃度為多少？


6.
\( \overline{AD} \)為半圓的直徑，且\( \overline{AB}=2 \)、\( \overline{BC}=7 \)、\( \overline{CD}=11 \)，則\( \overline{AD}= \)？

類題
\( \overline{P_0P_3} \)為半圓之直徑，\( P_1 \)、\( P_2 \)為半圓周上兩點。令\( a=\overline{P_0P_1} \)、\( b=\overline{P_1P_2} \)、\( c=\overline{P_2P_3} \)、\( d=\overline{P_0P_3} \)。試證d為方程式\( x^3-(a^2+b^2+c^2)x-2abc=0 \)之一根。
(81大學聯考　自然組)

103.3.13補充
圓內接四邊形ABCD中，直徑\( \overline{BC}=13 \)、\( \overline{AB}=\overline{AD}=5 \)，求四邊形ABCD的面積
(101臺南女中數學成就測驗，[url]http://www.tngs.tn.edu.tw/departments/shiwu/dirlisting1.asp?Dir=10100\[/url])

104.4.25補充
四邊形\( ABCD \)內接於一圓，且\( \overline{AB} \)為此圓的直徑，已知\( \overline{BC}=7 \)，\( \overline{CD}=\overline{DA}=3 \)，則直徑\( \overline{AB} \)之長。
(104台南二中，[url]https://math.pro/db/thread-2232-1-1.html[/url])


7.
設\( i=\sqrt{-1} \)，求\( (1+\sqrt{2}i)^{2013}+(1-\sqrt{2}i)^{2013} \)除以12的餘數為？

在這篇寸絲說這類題目可以用二項式定理或者用遞迴關係式
[url]https://math.pro/db/thread-680-2-1.html[/url]
在這篇thepiano用遞迴關係式解出答案
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3052#p9416[/url]
那你可以想看看，這題能不能用二項式定理解題，假如不能用也想看看為什麼不能用。


9.
\( \displaystyle 1^2 \cdot C_1^8 \cdot (\frac{1}{5})^1 \cdot (\frac{4}{5})^7+2^2 \cdot C_2^8 \cdot (\frac{1}{5})^2 \cdot (\frac{4}{5})^6+3^2 \cdot \cdot C_3^8 \cdot (\frac{1}{5})^3 \cdot (\frac{4}{5})^5+\ldots+8^2 \cdot C_8^8 \cdot (\frac{1}{5})^8 \)

\( \displaystyle 1^2 \cdot C_1^{10}(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^9+2^2 \cdot C_2^{10}(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^7+\ldots+10^2 \cdot C_{10}^{10}(\frac{1}{6})^{10} \)
(98彰化女中，[url]https://math.pro/db/thread-741-1-1.html[/url])


問答4.
過點\( (-2,2) \)且和橢圓方程式\( x^2+xy+y^2=1 \)相切的直線方程式為？

將極線代入橢圓方程式求得切點坐標，再和\( (-2,2) \)求出切線方程式

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