102竹東高中
as title請各位享用
計算最後一題,算老題目了嗎?
(PS.sorry,我上傳完以為ok了就沒檢查了,感謝dream10的幫忙) 幫忙上傳一下~~修改囉
計算最後一題
99左中考過一樣的
98玉井跟慈濟、92台中二中有類似的
計算2
今年好像考很多次囉~~~
weiye 補充：官方後來有公告，修正計算第一題答案為 \(\displaystyle f(x)= - \frac{2}{3}X^\frac{3}{2}\)
抱歉~~沒看到~~修訂答案後檔案在下面~~ 感謝dream10將檔案縮小
計算4.
設\( \displaystyle \Bigg[\; \matrix{2 & 1 \cr 0 & 2} \Bigg]\; \)，\( A^n \)。
原來A已經是Jordan Form了，所以直接乘就看出規律了 是非題3
設\( x \in R \)，\( |\; 2x-3 |\;+|\; x-5 |\; \le |\;x+2 |\; \)恆成立，則\( (2x-3)(x-5) \le 0 \)。
三角不等式的方向掛錯了吧 (命題失誤？)
另外，想請教填充第3題^^ [quote]原帖由 [i]airfish37[/i] 於 2013-6-22 07:58 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8641&ptid=1652][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
是非題3 三角不等式的方向掛錯了吧 (命題失誤？)[/quote]
≦ 是小於"或"等於，當然有可能是"等於"，題目沒問題 請教 填充3與計算1
謝謝 計算第 1 題
官方有修正答案，請參考
h ttp://www.ctsh.hcc.edu.tw/main/node/2128 連結已失效 想請教計算第一題
感謝
回復 8# ilikemath 的帖子
計算1.設曲線\( y=f(x) \)(\( x \ge 0 \))過點\((0,0)\)，且對於任意\(a>0\)，此曲線在\(x=0\)與\(x=a\)間的弧長為\( \displaystyle \frac{2}{3}\Bigg[\; (1+a)^{\frac{3}{2}}-1 \Bigg]\; \)。若對於所有\( x \ge 0 \)，都有\( f'(x) \le 0 \)，則\( f(x)= \)？
[解答]
曲線長 \( = \int_0^a \sqrt{1+(f'(x))^2} dx\)，對 a 微分，用微積分基本定理得
\( (f'(a))^2 = a \)，又 \( f'(a)\leq 0 \) 且 \( f(0) = 0 \) 可得 \( f(x) = -\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \) 想請教計算2 謝謝
回復 10# 阿光 的帖子
證明2.請分別利用數學歸納法(9%)與算幾不等式(5%)
證明：設\(n\)為大於1的正整數，不等式\(2^n>1+n \sqrt{2^{n-1}}\)
[解答]
算幾不等式
注意 \( 1+2+2^{2}+\ldots+2^{n-1}=2^{n}-1 \), \( n\in\mathbb{N} \)。
由算幾不等式有 \( \frac{2^{n}+1}{n}=\frac{1+2+\ldots+2^{n-1}}{n}\geq\sqrt[n]{1\cdot2\cdot2^{2}\cdots2^{n-1}}=2^{\frac{(n-1)n}{2n}}=\sqrt{2^{n-1}}\Rightarrow2^{n}\geq1+n\sqrt{2^{n-1}} \)。
數學歸納法
若 \( n=2 \), 檢查 \(2^{2}=4, 1+2\sqrt{2}\approx3.8, 4>3.8 \)，故命題於 \( n=2 \) 時成立。
若 \( n=3 \), 檢查 \( 2^{3}=8, 1+3\sqrt{2^{2}}=7, 8>7 \)，故命題於 \( n=3 \) 時亦成立。
設 \( n=k \) (\( k\geq3 \)) 時成立，即 \( 2^{k}\geq1+k\sqrt{2^{k-1}} \)。
而 \( 2^{k+1}=2\cdot2^{k}\geq2+2k\sqrt{2^{k-1}}\geq1+\sqrt{2}k\sqrt{2^{k}}\geq1+(k+1)\sqrt{2^{k}} \)，因此 \( n=k+1 \) 時亦成立。
由數學歸納法得證。 請教填充3
想不出來,
請不吝指教
謝謝
回復 12# arend 的帖子
填充3.在銳角\( \Delta ABC \)中，\( \overline{AD} \)垂直\(\overline{BC}\)於\(D\)，\(\overline{CE}\)垂直\(\overline{AB}\)於\(E\)。以\(\overline{DE}\)為直徑畫圓，此圓與\(\overline{AB}\)交於另一點\(Q\)。若\(\overline{AC}=25\)，\(\overline{AE}=7\)，\(\overline{CD}=15\)，則\(\overline{BQ}=\)[u] [/u]。
[解答]
由垂直和畢氏定理可得 \( \overline{AD}=20 \), \( \overline{EC}=24 \)。
注意 \( \angle ADC=\angle AEC=90^{\circ} \Rightarrow AEDC \) 共圓 (以 \( \overline{AC} \) 為直徑的圓)。
由托勒密定理得 \( 20\cdot24=25\cdot\overline{ED}+7\cdot15 \Rightarrow\overline{ED}=15=\overline{CD} \)，由此知 \( D \) 為直角 \( \triangle EBC \) 之斜邊 \( \overline{BC} \) 之中點且 \( \overline{DB}=\overline{DE}=\overline{DC}=15 \)。
而 \( Q \) 即為 \( D \) 對 \( \overline{BE} \) 作垂線之垂足 (半圓圓周角直角) (亦為 \( \overline{BE} \) 中點)，故 \( \overline{BQ}=\frac{1}{2}\overline{BD}=\frac{1}{2}\sqrt{30^{2}-24^{2}}=9 \)。 [quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2013-6-28 07:08 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8693&ptid=1652][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充 3.
由垂直和畢氏定理可得 \( \overline{AD}=20 \), \( \overline{EC}=24 \)。
注意 \( \angle ADC=\angle AEC=90^{\circ} \Rightarrow AEDC \) 共圓 (以 \( \overline{AC} \) 為直徑的圓)。
由托勒密定理得 ... [/quote]
謝謝tsusy老師
感激
想請教証明1，謝謝
[quote]原帖由 [i]wdemhueebhee[/i] 於 2013-7-2 08:44 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8712&ptid=1652][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url][/quote]
證明1.
證明：對於所有正整數\(n\)，\( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} (4-\frac{2}{k}) \)都是正整數。
[解答]
我只想到直接暴力乘開!! 也許有其他方法..
\( \displaystyle \prod_{k=1}^{n} \frac{4k-2}{k}=\frac{2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 14 \ldots (4n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots n}=2^n \times \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots (2n-1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots n}\times \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots (2n)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \ldots (2n)} \)
\( \displaystyle =2^n \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots (2n)}{2^n (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \ldots n)^2}=\frac{(2n)!}{n! \cdot n!}=C_n^{2n} \)
感謝airfish37
[list=1][/list]
再請教是非第一題, 謝謝 [quote]原帖由 [i]wdemhueebhee[/i] 於 2013-7-3 03:40 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8722&ptid=1652][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
再請教是非第一題, 謝謝 [/quote]
我是從資深老師口中得知：教師手冊有反例 @@ (參閱龍騰版教師手冊P.58)
回復 18# airfish37 的帖子
是非 1.\(a>1\)時，\(y=a^x\)與\(y=log_a x\)的圖形對稱於直線\(y=x\)並且不會相交。
[解答]
反例不難湊，要有交點的話，圖形一定要穿過對稱軸 \( y = x \) (不然分隔兩邊就沒交點)
而圖形對稱，所以指數函數圖形和對數函數圖形會和 \( y = x \) 相交於同一點。
這個點的坐標設為 \( (x,x) \)，則 \( a^x = x \Rightarrow a = x^{\frac1x} \)。
隨意選個 \( x =2 \), \( a = \sqrt{2} \)，兩圖形就會交於 \( (2,2) \) 就是一組反例。