謝謝!
計算3.
設\(5^{100}=a_n \cdot 2^n+a_{n-1} \cdot 2^{n-1}+a_{n-2} \cdot 2^{n-2}+\ldots+a_1 \cdot 2+a_0\)，其中\( n \in N \)，\( a_i \in \{\;0,1 \}\; \)，\(i=0,1,2,\ldots,n\)，但\(a_n \ne 0\)，求\(n\)之值。
回復 21# yuhui 的帖子
計算第 3 題：思考：題目就是把 \(5^{100}\) 以二進位表示之後，此二進位表示法為 \(n+1\) 位數字，求 \(n\) 之值。
解題：
\(\displaystyle \log_2 5^{100}=100\log_2 5 = 100\cdot\frac{1-\log_{10} 2}{\log_{10} 2}\)
\(\displaystyle \approx 100\cdot \frac{1-0.3010}{0.3010}\approx 232.225\)
\(=232+0.225\)
\(=\log_2 2^{232} + \log_2 a\) ，其中 \(1<a<2\)
\(\Rightarrow 5^{100}=a\cdot 2^{232}\) （其中 \(1<a<2\)）
故，\(n=232\)
註： 依題意，可知 \(2^n\leq 5^{100}<2^{n+1}\) 想請教填充 2 和 5 以及 計算2 怎麼算?
另外計算1.我看了寸絲的解答仍然不太懂@@.---它的微分是在根號內ㄟ?這樣怎麼算
感謝~
填充2.
若不等式\(5x^2-log_a x<0\)在\( \displaystyle x \in (0,\frac{1}{5}) \)內恆成立，則\( a \)的取值範圍為[u] [/u]。
填充5.
若函數\(f(x)=sin 2x+2a cos^2 x-a\)(\(a\)為實數)的圖形對於直線\( \displaystyle x=-\frac{\pi}{8} \)對稱，則\( a= \)[u] [/u]。
計算2.
\( A(7,6,3) \)，\( B(5,-1,2) \)，\(L\)：\( \displaystyle \frac{x-1}{2}=y=\frac{z-3}{-2} \)，\(P\)為\(L\)上的動點，求使得\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值的\(P\)點坐標。
回復 23# idontnow90 的帖子
填充第 5 題：\(\displaystyle f(x)=\sin2x+2a\cos^2 x-a=\sin2x+2a\cdot\frac{1+\cos2x}{2}-a\)
\(\displaystyle =\sin2x+a\cos2x=\sqrt{1+a^2}\sin\left(2x+\theta\right)\)
其中 \(\displaystyle \sin\theta=\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}, \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\)
因為正弦函數 \(y=\sin x\) 的圖形對稱於 \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) 其中 \(k\) 為任意整數
可知 \(f(x)\) 的圖形對稱於 \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)-\theta\right)\)
依題意，
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{-\pi}{8}=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)-\theta\right)\)，其中 \(k\) 為整數
\(\displaystyle \Rightarrow \theta=k\pi+\frac{3\pi}{4}\)
\(\displaystyle \Rightarrow a=\tan\theta=\tan\left(k\pi+\frac{3\pi}{4}\right)=-1\)
回復 23# idontnow90 的帖子
計算題第 2 題：\(A(7,6,3)\)，\(B(5,-1,2)\)，\(L\)：\(\displaystyle \frac{x-1}{2}=y=\frac{z-3}{-2}\)，\(P\)為\(L\)上的動點，求使得\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值的\(P\)點坐標。
[解答]
令 \(P(1+2t, t, 3-2t)\)
則
\(\displaystyle \overline{PA}+\overline{PB}=\sqrt{\left(7-\left(1+2t\right)\right)^2+\left(6-t\right)^2+\left(3-\left(3-2t\right)\right)^2}+\sqrt{\left(5-\left(1+2t\right)\right)^2+\left(-1-t\right)^2+\left(2-\left(3-2t\right)\right)^2}\)
\(\displaystyle =\sqrt{9t^2-36t+72}+\sqrt{9t^2-18t+18}\)
\(\displaystyle =3\left(\sqrt{\left(t-2\right)^2+2^2}+\sqrt{\left(t-1\right)^2+1^2}\right)\)
令 \(Q(t,0),A(2,2),B(1,-1)\)
則 \(\displaystyle \overline{QA}+\overline{QB}=\sqrt{\left(t-2\right)^2+2^2}+\sqrt{\left(t-1\right)^2+1^2}\)
可知當 \(Q,A,B\) 共線時，\(\overline{QA}+\overline{QB}\) 有最小值，
此時 \(\displaystyle t=\frac{4}{3}\)
即當 \(\displaystyle P(\frac{11}{3}, \frac{4}{3}, \frac{1}{3})\) 時，\(\overline{PA}+\overline{PB}\) 會有最小值。
回復 23# idontnow90 的帖子
填充第 2 題：若不等式\(5x^2-log_a x<0\)在\(\displaystyle x \in \frac{1}{5}\)內恆成立，則\(a\)的取值範例為[u] [/u]。
[解答]
當 \(a>1\) 時，因為 \(y=5x^2\) 通過原點且當 \(x\to0^+\)時，\(y=\log_a x\to -\infty\)
[attach]1903[/attach]
所以顯然 \(\displaystyle a>1\) 題述之不等式必然不成立。
當 \(0<a<b<1\) 時，因為 \(\displaystyle \log_a x<\log_b x, \forall 0<x<1\)
[attach]1904[/attach]
因此，只需要確認當 \(a\) 值為何時，會使得 \(y=5x^2\) 與 \(y=\log_a x\) 交點的 \(x\) 坐標是 \(\frac{1}{5}\)
\(\displaystyle\Rightarrow \log_a\left(\frac{1}{5}\right)=5\left(\frac{1}{5}\right)^2\)
\(\displaystyle \Rightarrow a^\frac{1}{5}=\frac{1}{5}\Rightarrow a=\frac{1}{5^5}=\frac{1}{3125}\)
即當 \(\displaystyle \frac{1}{3125}\leq a<1\) 時，恆有 \(\displaystyle 5x^2<\log_a x, \forall x\in\left(0,\frac{1}{5}\right)\) 謝謝瑋岳老師~
只是填充5 我有試著用\(\displaystyle f(-\frac{\pi}{8}+t)=f(-\frac{\pi}{8}-t)\)下去做.但是做不出來...是這題無法用這方法做嗎?
要怎麼知道什麼題目可以用我講的這種方法做..什麼題目不行呢?
謝謝指教~ 填充5.
若函數\(f(x)=sin2x+2acos^2x-a\)(\(a\)為實數)的圖形對於直線\(\displaystyle x=-\frac{\pi}{8}\)對稱，則\(a=\)[u] [/u]。
[解答]
參考看看~
令\( f(u)=sin u+a cos u \)對稱於\( \displaystyle u=-\frac{\pi}{4} \)，則\( \displaystyle f(-\frac{u}{4}+u)=f(-\frac{\pi}{4}-u) \)
\( \displaystyle \Rightarrow sin(-\frac{\pi}{4}+u)-sin(-\frac{\pi}{4}-u)=a \cdot [cos(-\frac{\pi}{4}-u)-cos(-\frac{\pi}{4}+u)] \)
\( \displaystyle \Rightarrow 2 cos(-\frac{\pi}{4})sin u=-2 a sin(-\frac{\pi}{4})sin(-u) \)
\( \displaystyle \Rightarrow a=cot(-\frac{\pi}{4})=-1 \)
回復 28# airfish37 的帖子
請教老師，是如何知道\( f(u)=sinu + acosu \)?回復 29# martinofncku 的帖子
兩倍角公式，但記號應該稍微注意一下，不要重複用 \( f \)回復 30# tsusy 的帖子
不好意思，還是不懂，可以麻煩老師再多說明一下嗎?還有，填充 1 ，我是用建立座標系算出來的，想知道較佳的算法。
填充1.
設\(G\)為\(\Delta ABC\)的重心，直線\(L\)過\(G\)且分別交\(\overline{AB}\),\(\overline{BC}\)於\(M,N\)。若\( \vec{BM}=a \vec{BA} \)，\( \vec{BN}=b \vec{BC} \)(其中\(a>0\)，\(b>0\))，則\(ab\)的最小值為[u] [/u]。
回復 31# martinofncku 的帖子
你可以先看一下 [url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1652&page=3#pid8927[/url] 回覆的前半段就是了。（令\(u=2x\)）回復 31# martinofncku 的帖子
填充第 1 題：填充1.
設\(G\)為\(\Delta ABC\)的重心，直線\(L\)過\(G\)且分別交\(\overline{AB}\),\(\overline{BC}\)於\(M,N\)。若\( \vec{BM}=a \vec{BA} \)，\( \vec{BN}=b \vec{BC} \)(其中\(a>0\)，\(b>0\))，則\(ab\)的最小值為[u] [/u]。
[解答]
設 \(\overline{AC}\) 的中點為 \(D\)，
則 \(\displaystyle \vec{BG}=\frac{2}{3}\vec{BD}=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\vec{BA}+\frac{1}{2}\vec{BC}\right)=\frac{1}{3}\vec{BA}+\frac{1}{3}\vec{BC}=\frac{1}{3a}\vec{BM}+\frac{1}{3a}\vec{BN}\)
因為 \(G,M,N\) 共線，所以 \(\displaystyle \frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}=1\)
由算幾不等式，可知 \(\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3a}+\frac{1}{3b}}{2}\geq\sqrt{\frac{1}{3a}\cdot\frac{1}{3b}}\Leftrightarrow ab\geq\frac{4}{9}\)
且當 "\(=\)" 成立時， \(\displaystyle a=b=\frac{2}{3}\)
因此，\(ab\) 的最小值為 \(\displaystyle\frac{4}{9}.\) 想請教老師 是非題 2、3，兩題的做法。
是非題2.
長短軸頂點、中心點、兩焦點，這7點之中有可能給三個點就決定橢圓。
是非題3.
設\( x \in R \)，\( |\; 2x-3 |\;+|\; x-5 |\; \le |\;x+2 |\; \)恆成立，則\( (2x-3)(x-5) \le 0 \)。
回復 34# martinofncku 的帖子
是非題第 2 題：有「可能」，
例如，若給的點是「短軸上一頂點及兩焦點」，則可以算出半長軸長，
然後再按照定義求出橢圓方程式。
是非題第 3 題：
因為 \(\left|2x-3\right|+\left|x-5\right|\geq\left|\left(2x-3\right)-\left(x-5\right)\right|\) 恆成立，
且等號成立時，\(\left(2x-3\right)\left(x-5\right)\leq0\)
題目說 \(\left|2x-3\right|+\left|x-5\right|\leq\left|x+2\right|\) ，
搭配 \(\left|2x-3\right|+\left|x-5\right|\geq\left|x+2\right|\) 恆成立，
就是 \(\left|2x-3\right|+\left|x-5\right|=\left|x+2\right|\)
因此 \(\left(2x-3\right)\left(x-5\right)\leq0.\) 請教各位老師，是非第五題想法！
是非5.
設\(a,b \in R\)，已知\( -3<a<5 \)且\( -7<b<1 \)，則存在實數\(a\)、\(b\)使得\(a+b+ab=12\)。
回復 36# eyeready 的帖子
是非5. 分解(好像也有人稱強迫分解)\( a+b+ab = (a+1)(b+1)-1\)
回復 37# tsusy 的帖子
謝謝tusy大大！簡單清楚，自已用根與係數反而更複雜！ [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2013-7-17 22:39 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8928&ptid=1652][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]計算題第 2 題：
令 \(P(1+2t, t, 3-2t)\)
則
\(\displaystyle \overline{PA}+\overline{PB}=\sqrt{\left(7-\left(1+2t\right)\right)^2+\left(6-t\right)^2+\left(3-\left(3-2t\right)\right)^2}+\sqrt{\left(5-\l ... [/quote]
想請問老師，此題目能將所求PA+PB改為比例不相同嗎?
例如: 2PA+3PB
亦即是想請問
若一有條件限制之動點P，至兩定點A、B之不同比例距離和的極值問題，該如何處理?
回復 39# cut6997 的帖子
若一有條件限制之動點P，至兩定點A、B之不同比例距離和的極值問題，該如何處理?以下純粹個人臨時想法
如果是平面的情形,給定A,B兩定點且一動點P, 要求\(\displaystyle m\overline{PA}+n\overline{PB}\)的極值
因為平面上所有滿足\(\displaystyle \overline{PA}:\overline{PB}=n:m\)的動點P軌跡為一個圓
所以可以用圓的參數式,直接參數式假設P,硬算\(\displaystyle m\overline{PA}+n\overline{PB}\)的極值
不過這方法看起來很難算就是了 如果改成平方就有可行的空間了
空間的話應該就是軌跡是一個球,球座標爆下去做吧,不過感覺也是很難做.....
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