102明倫高中
[quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2013-6-13 11:37 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=8515&ptid=1646][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url][/quote]
第6,7題答案給錯了 (顛倒了)
這份考題本人認為不錯,
都是考一些高中觀念的應用!
回復 1# bugmens 的帖子
想請教大家，其中有一題三角形三邊平方和大於等於4根號3倍的三角形面積要如何證明?回復 3# drexler5422 的帖子
剛好逛到這個證明 [url=http://frankliou.wordpress.com/2012/04/09/%E9%AB%98%E4%B8%AD%E6%95%B8%E5%AD%B8weitzenbocks-%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F/]法蘭克的數學世界外森比克(Weitzenböck's)不等式[/url]101 台師大數學系的甄試也考過此題，題目如下：
設 \( \triangle ABC \) 的三邊長分別為 \( a, b, c \)，而 \( \triangle \) 是此三角形的面積。試證：
[indent](a) \( a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq4\sqrt{3}\triangle \)
(b) \( \sin^{2}A+\sin^{2}B+\sin^{2}C\leq\frac{9}{4} \)。[/indent]
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-6-16 10:58 PM 編輯 [/i]]
回復 4# tsusy 的帖子
感謝寸絲大大~~~我弄懂第一題了
回復 5# drexler5422 的帖子
補上 Weitzenböck 不等式的其他證明方法供參考： [url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=666&page=1#pid1089[/url]回復 6# weiye 的帖子
那我也補個證明好了：先證 \( a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq\frac{4}{3}s^{2} \)，其中 \( s =\frac{a+b+c}{2} \)。
由柯西不等式有 \( \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)(1+1+1)\geq(2s)^{2}=4s^{2} \)，再除以 3 即得上式。
\( a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{4s^{2}}{9}\geq4\sqrt{\frac{2}{3}sabc} \) (算幾)。
由算幾不等式有 \( a=s-b+s-c\geq2\sqrt{(s-a)(s-b)}, b\geq2\sqrt{(s-a)(s-c)}, c\geq\sqrt{(s-a)(s-b)} \)。
因此 \( \frac{4}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq4\cdot\sqrt{\frac{16}{3}}\triangle \) (海龍公式) \( \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq4\sqrt{3}\triangle \)。
第1,2,3,...,8題
獻醜[[i] 本帖最後由 tuhunger 於 2013-6-18 08:28 AM 編輯 [/i]]
第12,15題
請教高手, 16題怎下手呢?回復 8# tuhunger 的帖子
第 4 題. \( \vec{OP} = \vec{OC} + \vec{CP} \) 而 \( \vec{OC} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB} \)，且 \( \overline{CP} \perp \overline{AB} \)故 \( \vec{OP} \cdot (\vec{OA} - \vec{OB}) = \frac{1}{2} (\vec{OA} + \vec{OB})\cdot (\vec{OA} - \vec{OB}) = \frac12(\overline{OA}^2 - \overline{OB}^2) = 6 \) 請問各位高手第 9 , 16 , 17如何解?其中17要如何解釋比較OK啊? 第 9 題
令 f(x) = 3x^4 - 4mx^3 + 1
f'(x) = 12x^3 - 12mx^2 = 0
x = m or 0 時，f(x) 有極值
f(0) = 1 ＞ 0
由於 f(x) = 0 無實根，故 f(x) 恆正
f(m) = -m^4 + 1 ＞ 0
-1 ＜ m ＜ 1
只剩下第16題了
只剩下第16題還沒算出來，請各位高手幫忙了，感謝!回復 13# Jacob 的帖子
第 16 題：邊長為 \(\sqrt{2}\) 的正三角形有 \(8\times8=64\) 個
邊長為 \(2\sqrt{2}\) 的正三角形有 \(8\) 個
邊長為 \(\sqrt{6}\) 的正三角形有 \(8\) 個
[attach]1855[/attach]
正三角形共有 \(64+8+8=80\) 個，\(k=80\)
邊長為 \(\sqrt{2}\) 的正四面體有 \(2\times8=16\) 個
邊長為 \(2\sqrt{2}\) 的正四面體有 \(2\) 個
正四面體共有 \(16+2=18\) 個，\(t=18\)
回復 14# weiye 的帖子
感謝瑋岳大的幫忙，這份終於結束了！回復 8# tuhunger 的帖子
想請問一下第五題和第十題第五題我看了老師的寫法
但還是不懂為什麼原本的三角形面積和以中線為三邊的三角形面積有倍數關係
第十題是用x=-1代入算嗎? 應該不是用這個方法吧?
謝謝!! 第 10 題
代進去 OK 啦
-2 * 5^7 - 4 * 5^6 + 61 * 5^5 + ...
= (-50 - 20 + 61) * 5^5 + ...
= -9 * 5^5 + ... 往下合併
回復 18# thepiano 的帖子
喔~真的ㄟ 只要整理一下是可以算的我考試的時候真的一個一個算 果然算錯
請問第十一題的第三小題
請問版上的老師,這一分第十一題的第三小題在問兩變數x,y的相關係數為何? 請問是指回歸線y=-4/5x+18的斜率嗎?
如果是這樣,依據數學101 p322 和 p323 相關係數和回歸線b的公式(分母不同)
使用x,y的相關係數的基本定義下去算 r=0.5.(和答案-4/5不同) 這樣是不是我觀念弄錯了
還是題目是要用斜率的觀念去解釋! 謝謝指教!
回復 19# anyway13 的帖子
\(b=r\times \frac{{{S}_{y}}}{{{S}_{x}}}\)而這題的\({{S}_{x}}\)和\({{S}_{y}}\)恰好相等
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