想請問計算第二四題
想請問計算第二和第四題，謝謝[[i] 本帖最後由 Jacob 於 2013-7-1 05:29 PM 編輯 [/i]]
回復 41# Jacob 的帖子
計算 4. 見 [url=http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d241/24105.pdf]數學傳播 星空燦爛的數學(II)一一 托勒密定理[/url] 蔡聰明50 頁圖. 22 下方有證明
計算 2. 可參考 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1628&page=1#pid8380]#8[/url]
前半段：三實二虛，和虛根的討論沒什麼問題
後面實根的部分可以修正為：令 \( k \) 為 \( f(x)=0 \) 之一實根，則 \( k, \frac1k, 1-k, \frac1{1-k} \) 皆為 \( f(x)=0 \) 之實根。
而已知三實根，至多三相異實根，因此四者之中至少兩個相等，解出有限個 \( k \) 的可能值，再檢驗之。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-7-1 08:10 PM 編輯 [/i]]
回復 42# tsusy 的帖子
感謝寸絲大的幫忙，終於搞定了。回復 34# yuanzhi 的帖子
原所求整理到最後應該是\(\displaystyle\huge=1+2\times (\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots)\)
yuanzhi老師似乎少了一個1
另外，yuanzhi老師在寫兩個函數的函數值時，
少寫了一小部份就是函數f的值為零和1的時候
[[i] 本帖最後由 poemghost 於 2013-7-12 09:51 PM 編輯 [/i]]
回復 1# redik 的帖子
整理一下有解答:
填1.2.3.4.5.6.7.8.
計2.4.5.6.
未解出
計1.3.
回復 45# nanpolend 的帖子
計算 1. 矩陣 \( A \) 之特徵多項式為 \( x^2-4x+3 = (x-3)(x-1) \)令 \( x^n(x-1)^2 \) 除以 \( x^2-4x+3 \) 之餘式為 \( a_nx+b_n \)，
即有多項式 \( q(x) \) 使得 \( x^{n}(x-1)^{2}=q(x)(x^{2}-4x+3)+a_{n}x+b_{n} \)...(☆)。
將 \( x=1, 3 \) 分別代入(☆)，可解得 \( a_n= -b_n = 2\cdot3^{n} \)
由 Cayley-Hamilton 定理使 \( A^2 -4A + 3I =O \)
以 \( x = A \) 代入 (☆) 得 \( A^{n+2} - 2A^{n+1} + A^n = a_{n}A+b_{n}I = \begin{bmatrix}8\cdot3^{n} & 8\cdot3^{n}\\
-4\cdot3^{n} & -4\cdot3^{n}
\end{bmatrix} \)
回復 46# tsusy 的帖子
請教一下計算5==實在看不懂解法?
[[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2013-7-25 11:25 PM 編輯 [/i]]
回復 45# nanpolend 的帖子
計算3.設實係數多項式 \( \displaystyle f(x)=\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2-a^2x \) (其中 \( \displaystyle a>0 \)) ，若 \( \displaystyle x=\alpha, \beta \) 時 \( \displaystyle f(x) \) 有極值，且\( \displaystyle |{\alpha}|+|{\beta}|=2 \)，求 \( \displaystyle b \) 的最大值。
解: \( \displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{9} \)
\( \displaystyle \alpha, \beta \) 為 \( \displaystyle f '(x)=0 \) 之兩實根，即 \( \displaystyle ax^2+bx-a^2=0 \) 之兩實根，故有
\( \displaystyle b^2-4a(-a^2)\geq 0 \) ...(1)
\( \displaystyle \alpha+\beta=\frac{-b}{a} \) ...(2)
\( \displaystyle \alpha\beta=-a<0 \) ...(3)
再將 \( \displaystyle |{\alpha}|+|{\beta}|=2 \) 兩邊平方整理，得到
\( \displaystyle 4=(|{\alpha}|+|{\beta}|)^2=\alpha^2+\beta^2+2|\alpha\beta| \)
\( \displaystyle =\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta\) by (3)
\( \displaystyle =(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\)
\( \displaystyle =\frac{b^2}{a^2}-4(-a) \)
故 \( \displaystyle \frac{b^2}{a^2}+4a=4 \)，
而得到 \( b^2=(4-4a)a^2 \)
最後再利用微分或是算幾不等式得出 \( \displaystyle b \) 的最大值為 \( \displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{9} \)。
[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2013-7-30 11:23 AM 編輯 [/i]]
回復 48# Joy091 的帖子
感謝回復 42# tsusy 的帖子
請問(x^2-x+1)(x-2)(x-1/2)^2這樣重根的答案不行嗎?
三實二虛中，實根不能重根嗎?
回復 50# conecone123 的帖子
您給的 \( (x^2-x+1)(x-2)(x-\frac12)^2 = 0 \) 是三實二虛沒錯，但是不符合題意的要求: \( f(\alpha) = 0 \Rightarrow f(1-\alpha) = f(\frac1\alpha) = 0 \)回復 51# tsusy 的帖子
感謝你~這樣我懂題目的要求了。 不好意思。我想請教一下填充5的一個觀念
ln(1+x)的馬克勞林展開不是只有在x介於1到-1間才成立嗎？
為甚麼x可以代入1？
謝謝
回復 53# johncai 的帖子
Abel's Theorem (一般在高微裡會學到)述敘證明請見 [url=http://www.proofwiki.org/wiki/Abel%27s_Theorem]http://www.proofwiki.org/wiki/Abel's_Theorem[/url]